¿Existe alguna correlación entre las funciones propias y los vectores propios de un sistema LTI?

  

Entonces, ¿por qué decimos que un sistema LTI de segundo orden tiene solo 2 eigen?   valores / vectores? "

Considere el siguiente sistema de segundo orden:

$$ a \ ddot y (t) + b \ dot y (t) + cy (t) = x (t) $$

Podemos escribir esto como

$$ \ mathbf Dy (t) = x (t) $$

donde \ $ \ mathbf D \ $ es el segundo orden operator

$$ \ mathbf D = a \ frac {d ^ 2} {dt ^ 2} + b \ frac {d} {dt} + c $$

Sabemos que \ $ e ^ {st} \ $ es una función propia del operador \ $ \ mathbf D \ $ con valor propio \ $ \ lambda = as ^ 2 + bs + c \ $

$$ \ mathbf De ^ {st} = \ lambda e ^ {st} = (como ^ 2 + bs + c) e ^ {st} $$

por lo tanto, hay una infinidad de funciones propias independientes para este operador lineal diferencial .

A continuación, considere la ecuación

$$ \ mathbf Dy (t) = 0 $$

Ahora tenemos una restricción: buscamos las funciones propias específicas con valores propios \ $ \ lambda = 0 \ $.

Como es bien sabido, procedemos de la siguiente manera:

$$ \ lambda = as ^ 2 + bs + c = 0 $$

que tiene dos soluciones independientes

$$ s = s_ {0 \ pm} = - \ frac {b} {2a} \ pm \ sqrt {\ frac {b ^ 2} {(2a) ^ 2} - \ frac {c} {a }} $$

Estas funciones propias particulares son claramente especiales en el sentido de que son los modos del sistema, la forma de la salida del sistema cuando no hay entrada.

La confusión surge debido a los diferentes usos del concepto valores propios en la teoría de control y en la teoría de señales y sistemas. En teoría del control, he encontrado el uso de valores propios para los polos de una función de transferencia. Por esta razón, si se usa con este significado, un sistema de segundo orden tiene solo dos valores propios (polos). Por otro lado, en la teoría de señales y sistemas, las funciones propias y los valores propios correspondientes están definidos por la respuesta de un sistema LTI a la señal de entrada \ $ x (t) = e ^ {s_0t} \ $, con \ $ s = \ sigma + j \ omega \ $, que está dado por

$$ y (t) = H (s_0) e ^ {s_0t} $$

donde \ $ H (s) \ $ es la función de transferencia del sistema, es decir, la transformada de Laplace de su respuesta al impulso. En este contexto, \ $ H (s_0) \ $ se denomina valor propio del sistema correspondiente a la función propia \ $ e ^ {s_0t} \ $. En este sentido, hay, por supuesto, infinitos valores propios y funciones propias.