Tengo parte de la información, pero falta mucha información y no puedo encontrar una respuesta clara en la web.
La forma general de un sistema dinámico de segundo orden es:
$$ \ frac {d ^ 2x (t)} {dt ^ 2} +2 \ zeta \ omega_n \ frac {dx (t)} {dt} + \ omega_n ^ 2x (t) = f (t) \: \: \: \: \: \: \: [1] $$
donde
x(t) - is the output, e.g current
f(t) - is the input, e.g a voltage signal
zeta - is the damping coefficient
wn - is the natural frequency
Un ejemplo de un sistema dinámico de segundo orden es un circuito RLC. Si una resistencia, un condensador y un inductor están conectados a una fuente de alimentación con voltaje en el momento t igual a f (t), el voltaje sumado en los tres componentes siempre es igual a f (t) en cualquier momento t.
$$ Ri (t) + \ frac {1} {C} \ int_0 ^ ti (t) dt + L \ frac {d \, i (t)} {d \, t} = f (t) \: \: \: \: \: \: \: [2] $$
Entonces, por ejemplo, si f (t) es una entrada de paso de 0 a 6V, la ecuación será:
$$ Ri (t) + \ frac {1} {C} \ int_0 ^ ti (t) dt + L \ frac {d \, i (t)} {d \, t} = 6 \: \ : \: \: \: \: \: [3] $$
Si esta ecuación se reorganiza de modo que esté en la forma general mostrada en la ecuación [1], entonces podrá averiguar la frecuencia natural del sistema (omega_n) y el coeficiente de amortiguamiento del sistema (zeta) .
La forma general de un sistema dinámico de primer orden en el espacio laplace es:
$$ G (s) = \ frac {k (s + a)} {s + b} \: \: \: \: \: \: \: [4] $$
donde
G(s) - is the transfer function (output/input)
k - is the "gain" of the system
a - is the zero of the system, which partially determines transient behavior
b - is the pole of the system, which determines stability and settling time
Un ejemplo de un sistema dinámico de primer orden es un circuito RC. El voltaje a través de la resistencia más el voltaje a través del capacitor es igual al voltaje de la fuente f (t) en cualquier momento t.
$$ Ri (t) + \ int_0 ^ ti (t) dt = f (t) \: \: \: \: \: \: \: [5] $$
De nuevo, para una entrada de paso de 0 a 6V, la ecuación será:
$$ Ri (t) + \ int_0 ^ ti (t) dt = 6 \: \: \: \: \: \: \: \: [6] $$
En el espacio laplace esto es
$$ RI (s) + \ frac {1} {Cs} I (s) = \ frac {6} {s} \: \: \: \: \: \: \: \: [7] $$
reorganizar a la forma general:
$$ I (s) * (Rs + \ frac {1} {c}) = 6 \: \: \: \: \: \: \: [8] $$
$$ I (s) = \ frac {6} {Rs + \ frac {1} {c}} \: \: \: \: \: \: \: \: [9] $$
$$ I (s) = \ frac {\ frac {6} {R}} {s + \ frac {1} {Rc}} \: \: \: \: \: \: \: \: [10] $$
Dado que la entrada fue la entrada de paso 6, puede ver que la ganancia en estado estable es igual a 6 / R, el polo es igual a 1 / RC y no hay ceros. Podría hacer la transformada inversa de lugar de esta ecuación para averiguar la corriente instantánea i (t) en cualquier momento t.
Ahora mis preguntas:
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He mostrado la forma general de un sistema dinámico de primer orden en el espacio laplace, y la forma general de un sistema dinámico de segundo orden en el espacio temporal, pero ¿cuál es la forma general de un sistema de primer orden en el espacio temporal? , y un sistema de segundo orden en el espacio laplace? Definitivamente los he visto escritos en alguna parte, pero no los puedo encontrar en mis notas o en línea.
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¿Cómo pasaría de la ecuación [3] a la forma general (espacio de tiempo) como se muestra en la ecuación [1]?
Cualquier respuesta es muy apreciada, incluso si solo responde una de las preguntas, o si responde parcialmente una pregunta. ¡Gracias por leer!