¿Cuál es la forma general de un sistema dinámico de primer y segundo orden, en lugar de espacio y tiempo?

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Tengo parte de la información, pero falta mucha información y no puedo encontrar una respuesta clara en la web.

La forma general de un sistema dinámico de segundo orden es:

$$ \ frac {d ^ 2x (t)} {dt ^ 2} +2 \ zeta \ omega_n \ frac {dx (t)} {dt} + \ omega_n ^ 2x (t) = f (t) \: \: \: \: \: \: \: [1] $$

donde

x(t) - is the output, e.g current
f(t) - is the input, e.g a voltage signal
zeta - is the damping coefficient
wn   - is the natural frequency

Un ejemplo de un sistema dinámico de segundo orden es un circuito RLC. Si una resistencia, un condensador y un inductor están conectados a una fuente de alimentación con voltaje en el momento t igual a f (t), el voltaje sumado en los tres componentes siempre es igual a f (t) en cualquier momento t.

$$ Ri (t) + \ frac {1} {C} \ int_0 ^ ti (t) dt + L \ frac {d \, i (t)} {d \, t} = f (t) \: \: \: \: \: \: \: [2] $$

Entonces, por ejemplo, si f (t) es una entrada de paso de 0 a 6V, la ecuación será:

$$ Ri (t) + \ frac {1} {C} \ int_0 ^ ti (t) dt + L \ frac {d \, i (t)} {d \, t} = 6 \: \ : \: \: \: \: \: [3] $$

Si esta ecuación se reorganiza de modo que esté en la forma general mostrada en la ecuación [1], entonces podrá averiguar la frecuencia natural del sistema (omega_n) y el coeficiente de amortiguamiento del sistema (zeta) .

La forma general de un sistema dinámico de primer orden en el espacio laplace es:

$$ G (s) = \ frac {k (s + a)} {s + b} \: \: \: \: \: \: \: [4] $$

donde

G(s) - is the transfer function (output/input)
k    - is the "gain" of the system
a    - is the zero of the system, which partially determines transient behavior
b    - is the pole of the system, which determines stability and settling time 

Un ejemplo de un sistema dinámico de primer orden es un circuito RC. El voltaje a través de la resistencia más el voltaje a través del capacitor es igual al voltaje de la fuente f (t) en cualquier momento t.

$$ Ri (t) + \ int_0 ^ ti (t) dt = f (t) \: \: \: \: \: \: \: [5] $$

De nuevo, para una entrada de paso de 0 a 6V, la ecuación será:

$$ Ri (t) + \ int_0 ^ ti (t) dt = 6 \: \: \: \: \: \: \: \: [6] $$

En el espacio laplace esto es

$$ RI (s) + \ frac {1} {Cs} I (s) = \ frac {6} {s} \: \: \: \: \: \: \: \: [7] $$

reorganizar a la forma general:

$$ I (s) * (Rs + \ frac {1} {c}) = 6 \: \: \: \: \: \: \: [8] $$

$$ I (s) = \ frac {6} {Rs + \ frac {1} {c}} \: \: \: \: \: \: \: \: [9] $$

$$ I (s) = \ frac {\ frac {6} {R}} {s + \ frac {1} {Rc}} \: \: \: \: \: \: \: \: [10] $$

Dado que la entrada fue la entrada de paso 6, puede ver que la ganancia en estado estable es igual a 6 / R, el polo es igual a 1 / RC y no hay ceros. Podría hacer la transformada inversa de lugar de esta ecuación para averiguar la corriente instantánea i (t) en cualquier momento t.

Ahora mis preguntas:

  • He mostrado la forma general de un sistema dinámico de primer orden en el espacio laplace, y la forma general de un sistema dinámico de segundo orden en el espacio temporal, pero ¿cuál es la forma general de un sistema de primer orden en el espacio temporal? , y un sistema de segundo orden en el espacio laplace? Definitivamente los he visto escritos en alguna parte, pero no los puedo encontrar en mis notas o en línea.

  • ¿Cómo pasaría de la ecuación [3] a la forma general (espacio de tiempo) como se muestra en la ecuación [1]?

Cualquier respuesta es muy apreciada, incluso si solo responde una de las preguntas, o si responde parcialmente una pregunta. ¡Gracias por leer!

    
pregunta Blue7

1 respuesta

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Desea utilizar la siguiente propiedad de la transformada de Laplace: $$ \ mathscr {L} \ left ({\ frac {dx (t)} {dt}} \ right) (s) = s \ mathscr {L} \ left (x (t) \ right) -x (0 ) $$

Esto le permite moverse fácilmente entre ecuaciones diferenciales y ecuaciones polinomiales.

Dominio de tiempo a dominio de frecuencia: tome su primera ecuación, por ejemplo $$ \ frac {d ^ 2 x (t)} {dt ^ 2} + 2 \ zeta \ omega_n \ frac {dx (t)} {dt} + \ omega_n ^ 2 x (t) = f (t). $$

Si denotamos la transformada de Laplace de \ $ x (t) \ $ por \ $ X (s) \ $ y \ $ f (t) \ $ por \ $ F (s) \ $ y aplicamos la transformada de Laplace a esta ecuación entonces esta propiedad implica $$ s ^ 2 X (s) + 2 \ zeta \ omega_n sX (s) + \ omega_n ^ 2 X (s) = F (s) $$ donde por simplicidad asumo que \ $ x (0) = f (0) = 0 \ $.

La función de transferencia se define como la relación: $$ \ frac {X (s)} {F (s)} = \ frac {1} {s ^ 2 + 2 \ zeta \ omega_n s + \ omega_n ^ 2} $$

Dominio de frecuencia a dominio de tiempo: Probemos el ejemplo \ $ G (s) = \ frac {1} {s ^ 3 + 1} \ $, entonces tenemos por definición que $$ G (s) F (s) = X (s) $$ lo que implica $$ F (s) = s ^ 3X (s) + X (s). $$

Tomando la transformada inversa de Laplace encontramos que $$ f (t) = \ frac {d ^ 3 x (t)} {dt ^ 3} + x (t). $$

Esperemos que esto te permita ver el patrón en general.

    
respondido por el SomeEE

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