Estoy tratando de hacer una convolución de una función \ $ x (t) \ $ con \ $ e ^ {- t} \ delta (t) \ $
Aquí están los pasos que seguí:
\ $ x (t) e ^ {- t} \ delta (t) = \ int x (\ tau) e ^ {t + \ tau} \ delta (t- \ tau) d \ tau = e ^ t \ int x (\ tau) e ^ {\ tau} \ delta (t- \ tau) d \ tau = e ^ tx (t) e (t) = e ^ {2t} x (t) \ $
Pero si devuelvo \ $ x (t) = \ delta (t) \ $, no obtendremos respuesta de impulso.
¿Puede alguien decirme dónde cometí un error en la convolución?
Hay un pequeño error: no es \ $ e ^ {t + \ tau} \ $ en la convolución, pero \ $ e ^ {- t + \ tau} \ $. Reemplaza el \ $ t \ $ original con \ $ t- \ tau \ $, y \ $ - (t- \ tau) = - t + \ tau \ $.
\ $ e ^ {- t} \ delta \ left (t \ right) \ $ es simplemente \ $ \ delta \ left (t \ right) \ $. Eso debería hacerlo más fácil, ¿no? FWIW, las soluciones a muchos "problemas" que los cursos le presentan sobre la convolución implican simplificar las funciones que estará desarrollando por simple reducción (como esta) o simplificar jugando juegos con los límites de integración.
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