¿Por qué la reactancia inductiva o el fasor de reactancia capacitiva está en el eje imaginario?

En un elemento resistivo, la corriente y el voltaje están en fase entre sí. Sin embargo, para un elemento inductivo, el voltaje lleva la corriente en \ $ 90 ^ \ circ \ $, y para un elemento capacitivo, el voltaje se retrasa en \ $ 90 ^ \ circ \ $.

Así que veamos cómo definimos la impedancia y por qué. Definimos la impedancia como:

$$ Z = R + jX $$

Ahora una impedancia respeta la ley de Ohms, así que lo que estamos diciendo es:

$$ V = ZI = RI + jXI $$

Cuando la reactancia es cero, puedes ver que nos quedamos contentos con la ley de Ohms que todos conocemos y amamos:

$$ \ begin {align} V_r & = RI + j0I \\\\ V_r & = IR \\ \ end {align} $$

Así que eso funciona. Ahora qué pasa cuando la resistencia es cero. Obtenemos:

$$ \ begin {align} V_x & = 0I + jXI = jXI \\\\ V_x & = | X | \ angle90 ^ \ circ \ times I \\ \ end {align} $$

Podemos ver ahora que la corriente y el voltaje deben estar \ $ 90 ^ \ circ \ $ fuera de fase para satisfacer esta ecuación. Genial, eso es lo que necesitamos también. Básicamente, esta formación de impedancia coincide con lo que requerimos.

Veamos lo que dijiste en un comentario a @Barry. ¿Por qué no definir la impedancia como:

$$ Z = X + jR $$

Bueno, repasemos las derivaciones de nuevo. De la ley de Ohms:

$$ V = ZI = XI + jRI $$

Entonces, veamos primero qué sucede cuando la reactancia es cero:

$$ \ begin {align} V_r = 0I + jRI = jRI \\\\ V_r = R \ angle90 ^ \ circ \ times I \ ne IR \\ \ end {align} $$

Ahora tenemos un gran problema. Acabamos de decir que la corriente y el voltaje deben estar fuera de fase en \ $ 90 ^ \ circ \ $. Pero como bien sabemos, este no es el caso. Así que claramente la ecuación de impedancia no se puede expresar correctamente de esta forma.

Si desea colocar la parte resistiva en el eje imaginario, simplemente gire ambos el voltaje y la corriente en 90 grados. Sin embargo, no cambias la ecuación de impedancia.

La ley de ohmios en efecto se convierte en:

$$ jV = jIZ $$

Sustituyendo en la ecuación de impedancia correcta obtenemos:

$$ jV = jI (R + jX) = jIR - IX $$

Esto es ahora perfectamente válido. La resistencia sigue siendo un número real, lo que significa que el voltaje y la corriente permanecen en fase. Esto lo vemos al establecer nuevamente la reactancia en 0, lo que resulta en:

$$ jV = jIR \ rightarrow V = IR $$

De hecho, este cambio no tiene que ser de 90 grados; puede cambiar la ecuación de la ley de Ohmios desde cualquier ángulo arbitrario y sigue siendo cierto:

$$ V \ angle35 ^ \ circ = (I \ angle35 ^ \ circ \ times R) \ rightarrow V = IR $$

• En primer lugar, le sugiero que revise qué es realmente un fasor. Las reactancias (o impedancias en general) son fasores nunca . El hecho de que sean cantidades complejas no los convierte en fasores.

  Ahora que es un fasor? Un fasor es una cantidad compleja que tiene un término \ $ e ^ {j \ omega t} \ $ cancelado como resultado de la transformación del fasor, por ejemplo, a voltaje \ $ V (t) = V e ^ {j (\ phi + \ omega t)} = V e ^ {j \ phi} e ^ {j \ omega t} \ $ → \ $ V e ^ {j \ phi} = V_ {re} + j V_ {im} \ $.
  El "→" es la transformación del fasor que elimina el \ $ e ^ {j \ omega t} \ $ que resulta en una cantidad compleja que es independiente del tiempo (lo que facilita el manejo adicional).

  Aunque las impedancias \ $ Z \ $ pueden ser quatities complejas, no son el resultado de una transformación de fasor y, por lo tanto, no son fasores.

• Ahora volvamos a la pregunta original que supongo que debería ser
  "¿Por qué son imaginarias las impedancias inductivas o las impedancias capacitivas?".

  Respuesta: Ese es el resultado cuando expones
  un inductor (con relación tensión / corriente \ $ V (t) = L \ frac {d} {dt} I (t) \ $) o
  un condensador (con relación tensión / corriente \ $ V (t) = \ frac {1} {C} \ int I (t) dt \ $)
  a una fuente sinusoidal (es decir, fuente de voltaje de la forma \ $ V (t) = V_ {src} e ^ {j (\ phi_ {src} + \ omega t)} \ $ o una corriente similar fuente) y aplicar KCL y / o KVL.

  Solo luego puede aplicar el análisis de fasor y milagrosamente todos los términos \ $ e ^ {j \ omega t} \ $ pueden cancelarse y los términos que contienen \ $ L \ $ y \ $ C \ $ "automáticamente" se convierten en puras constantes imaginarias \ $ Z_L = jX_L = j \ omega L \ $ porque \ $ L \ frac {d} {dt} Ie ^ {j \ omega t} = j \ omega LIe ^ {j \ omega t} \ $ es decir, el operador \ $ L \ frac {d} {dt} \ $ es lo mismo que la multiplicación por \ $ j \ omega L \ $ (y de manera similar para las capacitancias).

  De esa manera obtienes una simple ecuación independiente del tiempo para el voltaje y la corriente \ $ V = ZI \ $ (donde \ $ V \ $ y \ $ I \ $ son fasores, y \ $ Z \ $ es una cantidad compleja) que tiene el mismo aspecto que la ecuación de un circuito con una resistencia y una fuente de CC: Ley de Ohm \ $ V = RI \ $ (donde los tres \ $ V \ $, \ $ I \ $ y \ $ R \ $ son cantidades reales).

En una resistencia, la tensión y la corriente están en fase, por lo que para dar a entender que la impedancia de una resistencia es totalmente imaginaria, falta el punto. En los condensadores e inductores, la tensión y la corriente están separadas 90 grados, por lo que esto significa naturalmente que la impedancia expresada en coordenadas polares es totalmente imaginaria.

No puedo comenzar a ver un argumento contrario a esta forma directa de ver las cosas.

Es posible que pueda construir un sistema de este tipo y hacerlo funcionar.

Pero el hecho de que la potencia físicamente real disipada como calor en una resistencia aparezca en el eje real, hace que el sistema que usamos actualmente sea mucho más conveniente y más fácil de usar.

El punto de Andy es más fundamental: la fase entre el voltaje y la corriente es cero en una resistencia, por lo que V = I * R (Ley de Ohm) funciona y es útil en situaciones en las que puede ignorar las reactancias por completo. Entonces, P = V * I = V ^ 2 / R = I ^ 2 * R describe este poder real directamente.

Luego, tomar la reactancia en el eje imaginario permite que se describa y calcule de una manera completamente consistente y compatible con la Ley de Ohm básica.

Por lo tanto, no se gana nada cambiando los ejes al pasar de los cálculos resistivos a los reactivos, y se pierde mucha simplicidad.

No conozco su nivel de comprensión del concepto de impedancia. En cualquier caso, las propiedades de los condensadores y los inductores son tales que, para ambos, la corriente que pasa a través de ellos y la tensión a través de ellos están desfasados 90 grados. Dado que los ejes real e imaginario representan cantidades que están desfasadas 90 grados, es natural expresar la reactancia en el eje imaginario y la resistencia en el eje real.

Debes considerar lo que representa el fasor. Para un circuito de CA general, el fasor es una forma de representar una señal de entrada variable sinusoidal (onda sinusoidal). El fasor tiene una longitud fija en el espacio del fasor y gira en sentido contrario a las agujas del reloj a una frecuencia establecida. La tensión o corriente real es el componente real del fasor, o la proyección del fasor sobre el eje real. Utilizamos el fasor como herramienta para decirnos cómo responde el circuito RLC a la tensión / corriente de entrada y frecuencia específicas.

Entonces, cuando se pregunta por qué está el componente resistivo en el eje real y el componente capacitivo / inductivo en el eje imaginario, eso es solo porque elegimos un instante en el tiempo cuando se alinean de esa manera. Mire el circuito un momento después, y los voltajes y las corrientes que medimos cambiarán a medida que gire el fasor.

Considere la comparación entre el movimiento circular y el movimiento armónico simple. Tome la proyección del movimiento circular en una línea, y el resultado es un movimiento armónico simple. El fasor es como el movimiento circular, y la tensión / corriente de salida es como el movimiento armónico simple.

Ahora, para una resistencia, el voltaje y la corriente están en fase, entonces V = I R, como nos dice la ley de Ohm. Para el condensador, la corriente conduce la tensión en 90 grados, y para un inductor, la tensión conduce la corriente en 90 grados.

Todo lo dicho, la respuesta a su pregunta es la razón por la que tomamos la resistencia en el eje real es la conveniencia. El fasor gira con el tiempo, y estamos viendo una instantánea cuando asignamos la resistencia a la parte real.

Una pregunta de física clásica es tomar un circuito RLC con un voltaje de CA fijo (o corriente) aplicado, y luego preguntar cuál es la corriente (voltaje) cuando el voltaje instantáneo (corriente) es un valor dado. El primer paso real en el problema es determinar el ángulo instantáneo del fasor para obtener el valor de voltaje (corriente) dado. He asignado este tipo de problema regularmente en tareas y exámenes (y los estudiantes me AMAN por eso).

Además de los comentarios más rigurosamente matemáticos con respecto a los ángulos de fase entre el voltaje y la corriente en los componentes reactivos y no reactivos, ayuda recordar que un inductor ideal y un capacitor ideal no disipan energía (se acumulan y liberan energía). ), mientras que una resistencia ideal disipa energía.

En mi opinión, me gusta pensar que los valores imaginarios en el eje Y representan la energía que está "rebosando" en los componentes reactivos del circuito y que no se consume, es decir, la energía del campo eléctrico o la energía del campo magnético eso es acumulado y liberado por los condensadores e inductores, respectivamente, mientras que los valores reales en el eje X representan la energía que realmente se está consumiendo (por ejemplo, una resistencia que convierte la energía eléctrica en calor). Obviamente, esta no es una definición matemáticamente rigurosa; es más una ayuda de memoria que las personas a veces encuentran útil.

La mejor respuesta es en realidad el comentario de Chu.

Recuerde que una referencia es solo una decisión arbitraria de alguien, generalmente para ayudar a comprender. Así que seleccionamos referencias para circuitos de CA para que sea más fácil de entender.

La corriente es constante en un circuito en serie. Así que la corriente se usa como referencia. Aquí es donde comienzan los estudiantes. Elegimos el actual como referencia para simplificar los cálculos.

Al seleccionar actual (\ $ I \ $) como referencia, \ $ V_R \ $ estará a lo largo del eje x (sin componente y). y \ $ V_C \ $ y \ $ V_L \ $ estarán a lo largo del eje y (sin componente x). Esto simplifica los circuitos y cálculos para la adición de vectores (no es necesario dividir los vectores en componentes) y permite que los circuitos se resuelvan utilizando triángulos rectos y trigonometría o números complejos. La alineación permite el uso de números complejos y los números complejos simplifican los cálculos a medida que los circuitos se vuelven más complejos.

$$ \ overrightarrow {V_S} = \ overrightarrow {V_R} \ + \ \ overrightarrow {V_L} \ + \ \ overrightarrow {V_C} $$

$$ V_S = \ sqrt {(V_R) ^ 2 \ + \ (V_L - V_C) ^ 2} \ \ measuringangle \ arctan \ \ left ({\ frac {V_L - V_C} {V_R}} \ right) $$ $$ V_S = V_R \ + \ j (V_L - V_C) $$

Parauncircuitoparalelo,elvoltajeesconstante,porloqueelvoltajedefuente\$V_S\$seeligecomoreferencia,ylaadicióndelvectorahoraseconvierteenlaadicióndecorrientes.

$$\overrightarrow{I_S}=\overrightarrow{I_R}\+\\overrightarrow{I_L}\+\\overrightarrow{I_C}$$

Alcambiarlareferencia,elcircuitosepuederepresentarmediantetriángulosrectosyloscálculossepuedensimplificar.Lareferenciaseeligeparasimplificarlacomprensión.

Para un circuito en serie / paralelo, el voltaje de fuente \ $ V_S \ $ es típicamente elegido como referencia, pero los vectores típicamente no se alinean con el eje. Esperemos que el estudiante tenga algún conocimiento en ese punto.

En cuanto a la pregunta. \ $ V_R \ $ (o \ $ I_R \ $) a lo largo del eje x representa la potencia real, algo que obtenemos del circuito (calor, potencia mecánica, etc.). Esto (en mi opinión) siempre ha correspondido a números reales.

Para un circuito con un capacitor y un inductor, las principales fuentes de alimentación reactiva capacitiva retrasan la reactividad inductiva, disminuyendo la potencia reactiva que debe suministrar la fuente [el tramo vertical del triángulo rectángulo es menor que \ $ V_L \ $ (o \ $ V_C \ PS La energía fluye de ida y vuelta entre el condensador y el inductor. Se requiere potencia reactiva para hacer que el circuito funcione (crear un campo magnético en un motor), pero no hace ningún trabajo útil. Parece que conseguimos algo por nada, que corresponde a lo imaginario.

Entonces, las reactancias (potencia reactiva) a lo largo de lo imaginario y la resistencia (potencia real) a lo largo de lo real.