Su circuito no tiene una función de transferencia. Lo que puede hacer es calcular el voltaje de salida \ $ v_ {o} (t) \ $ después de que la posición del interruptor cambie de \ $ R_1 \ $ a \ $ R_2 \ $. Para mayor comodidad, uso los símbolos \ $ R = R_2 \ $, \ $ C = C_1 \ $ y \ $ L = L_1 \ $. Supongo que el condensador se ha conectado a la fuente de voltaje a través de \ $ R_1 \ $ durante un tiempo suficientemente largo, de modo que el voltaje en el condensador sea igual a \ $ V \ $. Si la posición del interruptor se cambia en el momento \ $ t = 0 \ $, obtiene la siguiente ecuación en el dominio de Laplace:
$$ \ frac {V} {s} = I (R + sL + 1 / sC) \ tag {1} $$
donde \ $ V \ $ es el voltaje en el condensador en \ $ t = 0 \ $, y \ $ I \ $ es la corriente en el circuito RLC, de modo que el voltaje de salida está dado por
$$ V_o = I \ cdot sL \ tag {2} $$
De (1) obtienes para el actual
$$ I = \ frac {V} {L} \ frac {1} {s ^ 2 + \ frac {R} {L} s + \ frac {1} {LC}} \ etiqueta {3} $$
que, combinado con (2), da para el voltaje de salida \ $ V_0 \ $
$$ V_0 = V \ cdot \ frac {s} {s ^ 2 + \ frac {R} {L} s + \ frac {1} {LC}} = V \ cdot \ frac {s} {(s + \ frac {R} {2L}) ^ 2+ \ frac {1} {LC} - \ frac {R ^ 2} {4L ^ 2}} \ tag {4} $$
La función de dominio de tiempo \ $ v_0 (t) \ $ se obtiene al transformar (4) de nuevo al dominio de tiempo. Aquí tiene que distinguir los siguientes 3 casos, donde he usado los símbolos \ $ \ alpha = R / 2L \ $ y \ $ \ omega ^ 2 = \ left | \ frac {1} {LC} - \ frac { R ^ 2} {4L ^ 2} \ right | \ $:
-
\ $ \ frac {1} {LC} = \ frac {R ^ 2} {4L ^ 2} \ $:
$$ V_0 = V \ frac {s} {(s + \ alpha) ^ 2} = V \ left [\ frac {1} {s + \ alpha} - \ frac {\ alpha} {(s + \ alpha) ^ 2} \ right] \ Longleftrightarrow v_0 (t) = V \ left (1- \ alpha t \ right) e ^ {- \ alpha t} u (t) $$
-
\ $ \ frac {1} {LC} > \ frac {R ^ 2} {4L ^ 2} \ $:
$$ V_0 = V \ frac {s} {(s + \ alpha) ^ 2 + \ omega ^ 2} = V \ left [\ frac {s + \ alpha} {(s + \ alpha) ^ 2 + \ omega ^ 2} - \ frac {\ alpha} {(s + \ alpha) ^ 2 + \ omega ^ 2} \ right] \ Longleftrightarrow \\ v_0 (t) = V \ left [\ cos (\ omega t) - \ frac {\ alpha } {\ omega} \ sin (\ omega t) \ right] e ^ {- \ alpha t} u (t) $$
-
\ $ \ frac {1} {LC} < \ frac {R ^ 2} {4L ^ 2} \ $:
$$ V_0 = V \ frac {s} {(s + \ alpha) ^ 2- \ omega ^ 2} = V \ left [\ frac {s + \ alpha} {(s + \ alpha) ^ 2- \ omega ^ 2} - \ frac {\ alpha} {(s + \ alpha) ^ 2- \ omega ^ 2} \ right] \ Longleftrightarrow \\ v_0 (t) = V \ left [\ cosh (\ omega t) - \ frac {\ alpha } {\ omega} \ sinh (\ omega t) \ right] e ^ {- \ alpha t} u (t) $$
