¿Encuentre la potencia en la salida de una entrada aleatoria + ruido?

El punto A es bastante sencillo.

Para lograr \ $ \ text {SNR} = 1000 \ equiv30 \ text {dB} \ $ necesitará que la potencia de la señal de salida sea 1000 veces mayor que la potencia de ruido de salida. El ruido de entrada es blanco, lo que significa que su PSD es plana. El valor se da, es decir, \ $ 10 ^ {- 3} \ frac {W} {Hz} \ $. (En mi opinión, deberían proporcionar realmente unidades de medida). \ $ H (\ omega) \ $ es un filtro ideal de paso bajo, la frecuencia de corte es \ $ f_c = \ frac {\ omega_c} {2 \ pi} = 159Hz \ PS La potencia de ruido de salida es así: $$ P_n ^ {out} = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} S_n ^ {in} (f) \ cdot | H {f} | ^ 2df = 2 \ int_0 ^ {f_c} 10 ^ {- 3 } \ cdot4df = 1.27W $$ Sí, tienes un ruido de entrada ENORME. Finalmente: $$ P_s ^ {out} = 1000P_n ^ {out} = 1.27kW $$

Ahora a la parte B. Se le da la densidad espectral de potencia de señal de entrada. Puede calcular las potencias de salida (señal y ruido) independientemente porque \ $ S_ {XX} (\ omega) \ $ es independiente de \ $ M (t) \ $ . La potencia de la señal de salida es ahora: $$ P_s ^ {out} = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} S_ {XX} (\ omega) | H {\ omega} | ^ 2d \ omega = 2 \ int_0 ^ {10 ^ 3} \ frac {c} {1+ \ omega ^ 2} \ cdot4d \ omega = 8c \ left [tan ^ {- 1} (\ omega) \ right] _0 ^ {10 ^ 3 } \ approx c \ cdot 12.55W $$

Finalmente: $$ c = \ frac {1.27kW} {12.55W} \ aproximadamente 101 $$

Tenga en cuenta que dado que \ $ S_ {XX} (\ omega) \ $ es una función de paso bajo de segundo orden con los polos en \ $ \ omega = 1 \ $, es probable que haya utilizado algún tipo de aproximación. En este caso, para la señal, el valor de la frecuencia de corte del filtro no importa mucho: la señal PSD es tan baja allí que si la frecuencia de corte fuera varias veces mayor, la potencia de la señal habría permanecido igual. En cambio, la potencia de ruido es plana, por lo que la frecuencia de corte importa mucho . Señalé este hecho porque estarás en esta situación muy a menudo.