Quizás la siguiente información puede ayudar a aclarar el problema:
1) La expresión SQRT [1 / (1 + x ^ 4) es una función de segundo orden que QUEREMOS realizar porque esta es una función que tiene una respuesta de magnitud "máxima plana". Eso significa que: si se compara con todas las demás funciones posibles de segundo orden, la magnitud se desvía lo menos posible de su valor en x = 0 (que en este caso es "1"). Tenga en cuenta que para un filtro dependiente de la frecuencia, la variable x es idéntica a una variable de frecuencia w = 2 * Pi * f que está normalizada a la frecuencia de corte de 3dB wc. Por lo tanto, tenemos x = w / wc .
2.) Podemos REALIZAR solo las funciones de filtro con elementos agrupados que pueden cumplir con la función general de paso bajo de segundo orden H (s) = Ao / (1 + a s + b s²) . Si calculamos los ceros del denominador (polos de toda la función H) encontramos que a = 1 / (wp * Qp) y b = 1 / (wp²) . Ambos parámetros de polo wp y Qp se definen utilizando la ubicación del polo del par de polos en el complejo s-dominio.
3.) Ahora, los resultados de 1.) y 2) están igualados (lo que queremos = lo que podemos realizar). Para ello, utilizamos los cuadrados de ambas funciones. Después de algunas manipulaciones matemáticas llegamos a la expresión:
H (s) = Ao / (1 + 0.7071x + x²) con x=w/wc
4.) Esta es la función de transferencia general para un paso bajo de Butterworth de segundo orden con ganancia de CD Ao. Existen diferentes métodos (topologías) para realizar esta función como un circuito electrónico. Una solución simple (pasiva) es usar una combinación adecuada de RLC (como en su ejemplo con Ao = 1). Para encontrar las expresiones correspondientes (valores de las partes) no tiene nada que hacer que comparar los coeficientes correspondientes de ambas funciones (desde el circuito y los H (s) dados para el wc de frecuencia 3dB deseado).