Tengo el siguiente diagrama de la respuesta de pasos de un sistema:
Estoy teniendo problemas para entender cómo calcular la función de transferencia del sistema, dado este diagrama. Específicamente, no entiendo cómo puedo calcular exactamente la frecuencia natural y la relación de amortiguamiento.
Nada de lo que he leído sobre esto me ha ayudado a tener una idea clara de lo que debería hacer. ¿Alguien puede ayudarme a comprender paso a paso cómo pensar este problema?
En el gráfico de respuesta a pasos, el exceso de pico, definido como
$$ M_p = \ frac {y_ {pico} -y_ {estado estable}} {y_ {estado constante}} \ approx \ frac {1.25-0.92} {0.92} = 0.3587 $$ Además, la relación entre \ $ M_p \ $ y la relación de amortiguamiento \ $ \ zeta \ $ (\ $ 0 \ leq \ zeta < 1 \ $) viene dada por:
$$ M_p = e ^ \ frac {- \ pi \ zeta} {\ sqrt {1- \ zeta ^ 2}} $$
O, en términos de \ $ \ zeta \ $:
$$ \ zeta = \ sqrt {\ frac {\ ln ^ 2M_p} {\ ln ^ 2M_p + \ pi ^ 2}} $$ Entonces, reemplazando ese \ $ M_p \ $ estimado: $$ \ zeta \ approx0.31 $$ Además, a partir de la gráfica de respuesta escalonada, la frecuencia natural amortiguada es de aprox. 0.5 Hz o \ $ \ pi \ $ rad / s. La relación con la frecuencia natural no amortiguada es: $$ \ omega_n = \ frac {\ omega_d} {\ sqrt {1- \ zeta ^ 2}} \ approx3.3 rad / s $$ Finalmente, la ganancia \ $ G_ {DC} = y_ {estado estable} \ approx0.92 \ $
Una función de transferencia de segundo orden estándar tiene la forma: $$ H (s) = G_ {DC} \ frac {\ omega_n ^ 2} {s ^ 2 + 2 \ zeta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2} $$ Poniendo los valores obtenidos: $$ H (s) \ approx \ frac {10} {s ^ 2 + 2s + 11} $$ Compare la respuesta del paso a continuación con la que proporcionó:
El cálculo de la frecuencia natural y la relación de amortiguamiento es bastante simple.
Si observa ese diagrama, verá que la salida oscila alrededor de un valor constante que finalmente se establece en él: la frecuencia de estas oscilaciones es la frecuencia amortiguada . Para medirlo a partir del diagrama, debe medir la distancia entre los puntos donde la salida cruza el valor de ajuste, que es la mitad del período que es el inverso de la frecuencia amortiguada. Mirando su gráfica, diría que esa distancia es de aproximadamente un segundo, por lo que la frecuencia amortiguada debería ser de aproximadamente 0.5Hz, es decir, \ $ f_ \ mathrm {d} = 0.5 \ $ Hz. Solo tengamos esto en cuenta por ahora.
Ahora para la relación de amortiguación. Eso es un poco más complicado, la relación de amortiguamiento mide qué tan rápido decae la oscilación, es decir, qué tan rápido se asienta la salida. Si la relación de amortiguamiento es 0, no se resuelven, si está por encima de la unidad, no tiene oscilaciones sino un buen exponencial. Lo que debe hacer es ajustar una curva en el máximo de salida, siendo la curva de la familia \ $ Ae ^ {- \ frac {t} {\ tau}} + C \ $. Necesita tres puntos, tiene tres puntos, lo que necesita es ese pequeño \ $ \ tau \ $. Realmente no quiero ajustarme a la curva, así que haré una suposición descabellada y diré que \ $ \ tau = 3s \ $. Ahora recapitulemos: $$ f_ \ mathrm {d} = 0.5Hz \\ \ tau = 3s $$ Ya que es un bajo el sistema amortiguado lo siguiente se mantiene: $$ \ omega_ \ mathrm {d} = \ omega_0 \ sqrt {1 - \ zeta ^ 2} \\ \ tau = \ frac {1} {\ omega_0 \ zeta} $$ Y lo has adivinado:
Ahora solo haz los cálculos y las ganancias.
nota la suposición \ $ \ tau = 3 \ $ puede ser más acertada de lo que crees.
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