¿Cómo derivar las soluciones de las ecuaciones diferenciales cuando se usa la convolución?

Lo que estás describiendo no es realmente convolución en sí, aunque los resultados se pueden usar con convolución para obtener soluciones para señales de entrada más complicadas. ¿Quizás estás malinterpretando un poco lo que intenta hacer el libro?

El método habitual para resolver esto para \ $ x (t) \ $ arbitrario es primero resolverlo para \ $ x (t) = \ delta (t) \ $, que es lo que el cálculo en su libro es muy probable hace. Esta solución se llama respuesta al impulso. La transformada de Fourier de \ $ \ delta (t) \ $ es de hecho \ $ 1 \ $ (o \ $ 1 / \ sqrt {2 \ pi} \ $, dependiendo de las convenciones utilizadas), por lo que en ese sentido, el lado derecho " es tratado como uno ".

Luego se usa la convolución para representar el caso general como $$ x (t) = \ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ mathrm {d} T \, x (T) \ delta (t - T). $$ Como la ecuación diferencial es lineal e invariante de cambio (una suma de soluciones modificadas es una solución), y aquí \ $ t \ $ aparece solo dentro de la función delta, puede usar esto para escribir la solución en el caso general como una convolución entre \ $ x (t) \ $ y la respuesta de impulso.

En el segundo caso, la entrada es la derivada de alguna función dada \ $ x (t) \ $, cuya transformada de Fourier puede relacionar con el FT de la función misma mediante \ $ \ mathcal {F} \ {x '(t) \} (\ omega) = i \ omega \ mathcal {F} \ {x (t) \} (\ omega) \ $. Creo que lo que hace su libro aquí es que resuelve el problema de la derivada de la función delta, para hacer una fórmula general para este caso.