Como ha reconocido, necesitará un convertidor de analógico a digital (ADC) para leer los potenciómetros, y una forma de empaquetar esa información y enviarla por Bluetooth, en una forma que su teléfono pueda usar. Eso es un microcontrolador.
Alcanzar su tamaño de 2x2x1 cm, es extremadamente difícil como punto de partida. Es probable que necesite desarrollar electrónica personalizada. Le recomiendo que use un sistema de desarrollo ya construido, haga que todo funcione y luego se reduzca a su tamaño objetivo.
Para una aplicación de bajo consumo, busca Bluetooth 'Smart', también conocido como Bluetooth Low Energy (BLE).
Hay 'perfiles' de Bluetooth específicos para datos analógicos. Hay mucha complejidad en esos perfiles. Por lo tanto, si desea aprovecharlos, probablemente sea mejor usar un sistema de desarrollo que tenga algún soporte para perfiles Bluetooth o BLE.
Un enfoque es un microcontrolador con una 'placa hija' de Bluetooth Low Energy, por ejemplo La tarjeta de expansión Bluetooth Nucleo de ST Micro que se conecta a las placas de desarrollo St Nucleo-64. Varios de ellos tienen microcontroladores de baja energía. ST ejecuta talleres gratuitos y proporciona material didáctico que probablemente pueda obtener gratis.
Varios fabricantes de microcontroladores integran bluetooth con el microcontrolador. Para hacer que los productos sean fáciles de crear prototipos, varios montan las partes en los módulos.
Un sistema de desarrollo con el que estoy familiarizado es de Cypress Semiconductor. Tienen dos tipos de módulos: PSoC 4 BLE y PRoC BLE, junto con un kit de desarrollo . De nuevo tienen talleres gratuitos y material didáctico. Los talleres de Cypress muestran una aplicación de demostración para teléfonos móviles que comunica datos analógicos, utilizando su módulo BLE, a un teléfono móvil. ST también puede tener una aplicación de teléfono móvil de demostración, no recuerdo si la tienen.
Probablemente pueda obtener un módulo Bluetooth de baja energía, que tiene una interfaz UART (serie), pero no lo he comprobado. La mayoría de los microcontroladores tienen convertidores UART y analógicos a digitales. También deberá comprender cómo funcionan las características de 'Baja energía'. Tendrá que decidir cómo hacer llegar los datos al teléfono y escribir la aplicación móvil.
Para una aplicación de tan baja velocidad, el juguete también podría considerar WiFi. Hay muchos módulos WiFi, pero el más barato que conozco es el ESP8266 de Espressif. Una vez más, deberá escribir la aplicación del teléfono.