Estaba siguiendo la derivación de la solución al caso de una serie RLC en un circuito RLC en serie en mi libro de texto, y me topé con un obstáculo. La derivación es así:
$$ \ porque \ texto {La solución general es} i (t) = A_1e ^ {s_1t} + A_2e ^ {s_2t} \\ \ porque s_ {1,2} = - \ alpha \ pm \ sqrt {\ alpha ^ 2 - \ omega_0 ^ 2} \ text {y} \ alpha < \ omega_0 \\ \ por lo tanto s_ {1,2} = - \ alpha \ pm j \ omega_d \ text {donde} \ omega_d = \ sqrt {\ omega_0 ^ 2- \ alpha ^ 2} $$
Enchufando estas raíces en la solución general que tenemos:
$$ i (t) = A_1e ^ {(- \ alpha + j \ omega_d) t} + A_2e ^ {(- \ alpha-j \ omega_d) t} = A_1e ^ {- \ alpha t} e ^ {j \ omega_d t } + A_2e ^ {- \ alpha t} e ^ {- j \ omega_d t} \\ \ implica i (t) = e ^ {- \ alpha t} (A_1e ^ {j \ omega_d t} + A_2e ^ {- j \ omega_d t}) $$
Luego, usando la fórmula de Euler, podemos escribir:
$$ i (t) = e ^ {- \ alpha t} [A_1 (\ cos (\ omega_d t) + j \ sin (\ omega_d t)) + A_2 (\ cos (\ omega_d t) -j \ sin (\ omega_d t))] \\ \ implica i (t) = e ^ {- \ alpha t} [(A_1 + A_2) \ cos (\ omega_d t) + j (A_1-A_2) \ sin (\ omega_d t)] $$
Ahora, aquí es donde me pierdo. El libro continúa y dice:
$$ \ text {Let} B_1 = A_1 + A_2 \ text {y} B_2 = j (A_1-A_2) \\ por lo tanto, i (t) = e ^ {- \ alpha t} (B_1 \ cos (\ omega_dt) + B_2 \ sin (\ omega_dt)) $$
A continuación, presenta la ecuación anterior como la respuesta natural y sin marcas de un circuito RLC.
¿Pero cómo puede ser esto verdad? Me parece que de repente decidieron que la parte imaginaria \ $ j (A_1-A_2) \ sin (\ omega_dt) \ $ era en realidad real. La solución real no debería ser: $$ i (t) = \ text {Re} [e ^ {- \ alpha t} (B_1 \ cos (\ omega_dt) + jB_2 \ sin (\ omega_dt))] \ text {donde} B_2 = A_1-A_2 $$
Para mí, parece que están ignorando el hecho de que la segunda sinusoide en la solución es imaginaria y, por lo tanto, no se puede tratar como si fuera parte de la respuesta "real".
¿Alguien puede dar más detalles sobre esto?