¿Cómo cablear tierra cuando se usa un arduino con transistores y una fuente de alimentación externa?

El problema es probablemente con la forma en que usas los transistores. En su esquema dibujó transistores NPN bipolares. Esos conmutadores se basan en el voltaje del emisor de la base, donde la base debe ser más positiva que el emisor. En su configuración actual, la base es lo que está configurado para el pin de salida, pero el emisor está flotando porque no está conectado a ningún voltaje. Esto se debe a que intenta utilizar un transistor NPN en el lado positivo del LED, pero se supone que debe usarlos en el lado negativo como en este esquema:

^{simular este circuito : esquema creado usando CircuitLab}

Aquí puede ver que la base es lo que sea el pin de salida (siempre que no haya corriente pasando por R2) y que el emisor esté siempre conectado a tierra. Por lo tanto, una salida alta en el pin provoca un voltaje de emisor de base positivo. También tenga en cuenta las resistencias: R3 es la resistencia limitadora de corriente para el LED para asegurarse de que no se destruya porque sin ella, básicamente, está cortocircuitando 3.5V a tierra cuando el transistor está conduciendo. R1 es una resistencia desplegable para la base del transistor para asegurarse de que la base nunca esté flotando. R2 es una resistencia limitadora de corriente para asegurarse de que no extraiga demasiada corriente del pin de salida a la base de la resistencia, ya que esto podría dañar el microcontrolador.