RHP cero en convertidor boost

Los convertidores de modo continuo y aumento de velocidad muestran funciones de transferencia de control a salida \ $ G_ {vd} (s) = \ hat {v} (s) / \ hat {d} (s) \ $ que contienen dos polos y un RHS (semiplano derecho) cero, llamados cero de fase no mínima.

Su función de transferencia original es:

$$ G_ {vd} (s) = \ frac {1} {V_ {RAMP}} \ times \ frac {V_ {IN}} {\ left (1-D \ right) ^ 2} \ times \ frac {1 / \ underline {L} C \ times \ left (1-s \ left (\ underline {L} / R \ right) \ right)} {s ^ 2 + s \ left (1 / RC \ right) + 1 / \ subrayado {L} C} $$

Comenzando desde una función más simple (sin el cero de RHP), denominado \ $ G_ {vd} '\ $:

$$ G_ {vd} '= \ frac {1} {V_ {RAMP}} \ times \ frac {V_ {IN}} {\ left (1-D \ right) ^ 2} \ times \ frac { 1 / \ underline {L} C} {s ^ 2 + s \ left (1 / RC \ right) + 1 / \ underline {L} C} $$

O, colocado como segundo orden estándar t.f:

$$ G_ {vd} '= K_ {DC} \ times \ frac {1 / \ underline {L} C} {s ^ 2 + s \ left (1 / RC \ right) + 1 / \ underline { L} C} $$

donde la ganancia de CD es \ $ K_ {DC} = \ frac {1} {V_ {RAMP}} \ times \ frac {V_ {IN}} {\ left (1-D \ right) ^ 2} \ $.

La ecuación se puede reescribir como:

$$ G_ {vd} '= K_ {DC} \ times \ frac {1} {\ left (\ frac {s} {\ omega_0} \ right) ^ 2 + \ frac {s} {\ omega_0Q} +1} $$

Con \ $ \ omega_0 = 1 / \ sqrt {\ underline {L} C} \ $ y \ $ \ omega_0Q = R / \ underline {L} \ $

De manera similar, la función de transferencia original se puede expresar como (RHP cero incluido):

$$ G_ {vd} = K_ {DC} \ times \ frac {\ left (1- \ frac {s} {\ omega_ {RHP}} \ right)} {\ left (\ frac {s} { \ omega_0} \ right) ^ 2 + \ frac {s} {\ omega_0Q} +1} $$

La respuesta será:

$$ \ hat {v} (s) = \ frac {K_ {DC}} {\ left (\ frac {s} {\ omega_0} \ right) ^ 2 + \ frac {s} {\ omega_0Q} +1} \ times \ hat {d} (s) - \ frac {K_ {DC} / \ omega_ {RHP}} {\ left (\ frac {s} {\ omega_0} \ right) ^ 2 + \ frac { s} {\ omega_0Q} +1} \ times \ hat {d} (s) \ times s $$

La respuesta del sistema original es la suma de dos componentes: la primera es equivalente a la respuesta del sistema modificado (sin el cero) y la segunda es la derivada (escalada) de esa. Para el caso de un sistema estable con una entrada de pasos en \ $ t = 0 \ $, este último componente tendrá una influencia sustancial al principio y luego desaparecerá cuando \ $ t \ rightarrow \ infty \ $. Tenga en cuenta que el signo negativo conduce a un efecto opuesto momentáneo en la salida (fase no mínima).

ACTUALIZAR :

La presencia de RHP cero en el modelo se explica de la siguiente manera: Para que la tensión de salida aumente, el ciclo de trabajo debe aumentarse de tal manera que el inductor se desconecte de la carga durante un largo tiempo, causando la salida. voltaje a caída (es decir, en la dirección opuesta a la deseada). El controlador debe estar diseñado para cumplir con los requisitos del proyecto y evitar las oscilaciones mientras se mantiene el ciclo de trabajo por debajo de un 100% indeseable, limitado por el propio circuito integrado PWM.

¿Quizás un ejemplo intuitivo, en lugar de numérico, pueda ayudar?

Suponga la operación en modo continuo (es decir, la corriente del inductor no cae a cero durante el tiempo de "apagado"), y considere un aumento gradual en el ciclo de trabajo con una carga de corriente constante.

La corriente del inductor aumentará con cada ciclo de conmutación (ya que ahora está sujeta a más voltios-segundos mientras el interruptor está encendido que cuando está apagado), después de algunos ciclos, la cantidad de carga Q (I * t) entregada al condensador de salida, cada ciclo excede Q utilizado por la carga, por lo que la tensión de salida comienza a aumentar. Una vez que la tensión de refuerzo (menos pérdidas resistivas) exceda Vin / (1-D), la corriente del inductor caerá hasta que sea igual a la corriente de carga.

Si el bucle de control tiene demasiada ganancia a alta frecuencia, podría reducir el ciclo de trabajo más rápido de lo que puede aumentar la corriente del inductor, creando una condición inestable.