Les dejaré las matemáticas ya que este es un gran ejercicio para comprender los conceptos básicos de la electrónica de potencia. Pero, te daré el flujo de lo que está pasando.
El bucle de regulación del LM317 intentará mantener algo de voltaje (Vref) en el pin ADJ. Lo hace comparando este voltaje con una referencia interna. Por el momento, realice el análisis sin R3 y V2. El trabajo en la vida de la pieza es proporcionar cualquier voltaje en el OUT que necesita para garantizar que Vadj == Vref. Sabiendo la tensión de regulación del pin ADJ y el valor de R1, conoce la corriente que fluye en R2. Vadj + Ir2 * R2 = Vout.
Ahora, entienda que V2 y R3 solo están proporcionando cierta cantidad de corriente en (o fuera de) el nodo del pin ADJ. Si V2 = Vadj, entonces el circuito funciona como si no hubiera una conexión R3. Si V2 supera a Vadj, la corriente se agrega al nodo ADJ desde esta conexión. Como esa corriente también pasa por R1, el bucle de control debe disminuir Vout para acomodar esta corriente adicional. Si V2 va por debajo de Vadj, la corriente se extrae del nodo ADJ, y Vout debe aumentar para proporcionar la corriente adicional a través de R1. Mientras escribe las ecuaciones nodales, recuerde que el circuito de retroalimentación del regulador solo intenta mantener el pin ADJ en Vref.
Tenga en cuenta que este es solo el análisis de primer orden y que puede haber problemas de estabilidad y transitorios con enfoques como este, pero este ejercicio debería aumentar considerablemente su comprensión de este circuito.