¿Por qué la respuesta de frecuencia H (f) muestra simetría conjugada en el caso de un sistema lineal con respuesta de impulso real?

Definición de respuesta de frecuencia:

$$ H (e ^ {jw}) = \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} h [k] e ^ {- jkw} $$

Ahora toma el complejo conjugado de ambos lados.

$$ H ^ {*} (e ^ {jw}) = \ left (\ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} h [k] e ^ {- jkw} \ right) ^ {*} $$

$$ H ^ {*} (e ^ {jw}) = \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} h [k] \ left (e ^ {- jkw} \ right) ^ {*} $$

$$ H ^ {*} (e ^ {jw}) = \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} h [k] e ^ {jkw } $$

$$ H ^ {*} (e ^ {jw}) = H (e ^ {- jw}) $$

Dado que h [n] es real, el conjugado complejo solo se aplica al término exponente.

La transformación de Fourier tiene una propiedad llamada propiedad conjugada compleja:

$$ {\ mathcal F} [x (t)] = X (j \ omega) \ implica {\ mathcal F} [x ^ * (t)] = X ^ * (- j \ omega) $$

Puede encontrar una prueba de esta propiedad en la definición de la transformación aquí entre otras fuentes.

Si \ $ x (t) \ $ tiene un valor real, entonces \ $ x (t) = x ^ * (t) \ $, por lo que debemos tener

$$ X (j \ omega) = X ^ * (- j \ omega). $$

Debido a que la respuesta de frecuencia H (f) es la transformada de Fourier de la respuesta de impulso h (f), y la transformada de Fourier de cualquier función de valor real exhibe simetría conjugada.