¿Es posible encontrar un sistema inverso para esta ecuación de diferencia?

Piensa en tu sistema en términos más simples. Supongamos que \ $ x [2n + 1] = a \ $ y \ $ x [2n - 1] = b \ $. Por lo tanto:

$$ y = a + b $$

¿Puede encontrar una solución única para \ $ a \ $ y \ $ b \ $, sabiendo solo el valor \ $ y \ $? La respuesta es no, hay infinitas soluciones posibles. Sin embargo, si es absolutamente necesario encontrar una inversa, se podrían agregar restricciones al problema, para que tengamos nuevas posibilidades probabilísticas.

¿Son \ $ x [2n + 1] \ $ y \ $ x [2n - 1] \ $ completamente independientes entre sí, o existe alguna correlación? ¿Es \ $ x \ $ limitado en amplitud o ancho de banda? Tal vez un proceso estocástico pueda describirlo? Si se pueden llevar suficientes restricciones al problema, se podría encontrar un valor "esperado" para \ $ a \ $ y \ $ b \ $.

Por ejemplo, digamos que \ $ x \ $ se describe mediante un proceso estocástico gaussiano, con media \ $ \ mu \ $. Entonces, la respuesta esperada sería la que traiga \ $ a \ $ y \ $ b \ $ lo más cerca posible de \ $ \ mu \ $.

Uno debe darse cuenta de que el sistema debe resolverse para todos los \ $ n \ $ en su rango considerado (¿desea encontrar la solución \ $ \ para todos n \ geq 0 \ $?). En este problema particular, esto significa resolver:

$$ y [0] = x [1] + x [-1] \\ y [1] = x [3] + x [1] \\ y [2] = x [5] + x [3] \\ \ puntos $$

Si por alguna restricción o valor conocido, puede encontrar \ $ x [-1] \ $, luego puede resolver para \ $ x [1] \ $ y \ $ x [3] \ $ y todos los demás \ $ x [2n + 1] \ $.

En suma: ¿es invertible el sistema? En términos estrictos, no. ¿Es posible encontrar una señal inversa esperada? Dadas las restricciones suficientes, sí.