¿Existe la respuesta de frecuencia de un circuito LC ideal? La respuesta de frecuencia de un sistema se define como: $$ \ int_0 ^ \ infty {h (t) e ^ {- j \ omega t} dt} $$ donde \ $ h (t) \ $ es la respuesta al impulso del sistema, pero un circuito LC ideal es marginalmente estable, es decir, su respuesta al impulso no decae ni explota a medida que el tiempo se acerca a \ $ \ infty \ $, por lo que tiene sentido que la integral no converja, por lo tanto, no debería existir. ¿Estoy equivocado?
Podría ser, porque la respuesta de frecuencia se utiliza para resolver la salida del circuito. Si se proporciona al circuito una entrada sinusoidal \ $ a \ sin (\ omega t + \ theta) \ $, la respuesta forzada es igual a \ $ | H (j \ omega) | a \ sin \ big (\ omega t + \ theta + \ angle H (j \ omega) \ big) \ $ (de esta conferencia ), donde \ $ H (j \ omega) \ $ es la respuesta de frecuencia. Si asumo que existe, obtengo la respuesta forzada correcta (como si la resolviera mediante coeficientes indeterminados si formara una ecuación diferencial). Entonces, ¿/ no existe?
Respuesta de frecuencia de un circuito LC ideal
4 respuestas
¿Existe la respuesta de frecuencia de un circuito LC ideal?
Sí, ¿por qué no?
¿Estoy equivocado?
Sí. Es obvio que la respuesta del pulso es una función armónica pura porque es un circuito de resonancia sin resistencia.
Deje que el pulso sea un pulso dirac de voltaje de valor \ $ 1 V \ $ at \ $ t = 0 \ $, y la salida indique el voltaje sobre el capacitor. Entonces queda claro que en \ $ t = 0 \ $, \ $ U_C = 1 V \ $ y que la respuesta al impulso es un voltaje armónico que comienza en \ $ U_C = 1 V \ $ con una frecuencia angular \ $ \ omega_0 = \ frac {1} {\ sqrt {LC}} \ $ (IIRC).
Entonces \ $ h (t) = cos (\ omega_0 t) \ $
¿Por qué molestarte con eso?
Bueno, porque \ $ \ int_ \ infty ^ \ infty cos (\ omega_0 t) e ^ {- j \ omega t} dt = \ frac {1} {2} [\ delta (\ omega - \ omega_0) + \ delta (\ omega + \ omega_0)] \ $.
Supongo que la integración de 0 a \ $ \ infty \ $ solo proporciona el \ $ \ delta (\ omega- \ omega_0) \ $ term.
¿Existe la respuesta de frecuencia de un circuito LC ideal?
Existe en teoría, pero las pérdidas resistivas en el circuito hacen que un circuito práctico sea imposible sin utilizar algún tipo de súper enfriamiento. Un LC de paso bajo (sin resistencia) tiene esta respuesta: -
Y si aplicó una onda sinusoidal de frecuencia Fc, obtendrá un voltaje de salida infinito en t = infinito. Digo t = infinito porque tomará tanto tiempo para que la salida se vuelva infinita debido al requisito de que la LC reciba energía infinita de la fuente de la señal.
Pero, como lo impliqué anteriormente, realmente es mucho más allá del presupuesto de la mayoría de las personas crear uno.
La función de transferencia para un paso bajo LC ideal es:
$$ H (s) = \ frac {1} {s ^ 2LC + 1} = \ frac {\ frac {1} {LC}} {s ^ 2 + \ frac {1} {LC}} $ $
lo que significa que hay un polo (no cero) recto en el eje \ $ j \ omega \ $, lo que significa que la transformada de Laplace tiene la forma \ $ \ text {u} (t) \ sin \ omega t \ $, donde \ $ \ text {u} (t) \ $ es el paso de la unidad = > Oscilación infinita. Aquí hay una confirmación gráfica:
El comportamiento de un circuito LC es cualquiera que sea el comportamiento.
Podemos tratar de describir el comportamiento de la LC mediante su modelado con integrales a lo largo del tiempo, o definiendo una 'Respuesta de frecuencia', que es una construcción matemática de nuestra invención. Cuando queremos que la integral se defina a tiempo infinito, el infinito es otra construcción matemática de nuestra invención.
Si desea preguntar si las construcciones matemáticas que hemos inventado 'existen', entonces está en el sitio incorrecto, las matemáticas, la metamatemática (si existe) o la filosofía podrían ser mejores.
Si desea preguntar si son útiles para analizar circuitos LC y predecir qué harán y cuál es su comportamiento asintótico, entonces la respuesta es sí.
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