Dada una matriz de transición como, por ejemplo,
$$ \ phi (t) = \ begin {bmatrix} e ^ {- 3t} & 0 \\ 0 & e ^ {- 3t} \ end {bmatrix} $$
¿Cuál es la forma analítica de dibujar x (t) para dos puntos de partida dados?
Solo recibí esta solución, que de alguna manera puedo entender en este caso:
Dadoqueunx2estáenceroparaelpuntocorrectoyunterminoestádecayendo,tienequeiracero.Elpuntoizquierdodealgunamaneravaenunalíneaaceroporquetantox1(t)comox2(t)tienenelmismofactor.Lasugerenciaquesedioconfirmaestasuposición:$$x_1(t)=e^{-3t}\cdotx_1(0)$$$$x_2(t)=e^{-3t}\cdotx_2(0)$$$$x_1(t)=C\cdotx_2(t)$$
Larazónporlaquecuestionomisuposiciónesunasegundatareaquerecibió:$$\phi(t)=\begin{bmatrix}e^{2t}&0\\0&e^{-2t}\end{bmatrix}$$Conesospuntosdepartida(ysoluciónenazul).
Para resolver este ejercicio intenté encontrar una conexión (como la C antes). Las ecuaciones de $ x_1 $ y $ x_2 $ tienen coeficientes de diferencia. Además del punto de partida, tienen una diferencia de $ e ^ {4} $.
La pista en la solución que me fue dada me confundió más. Como antes, se puede escribir: $$ x_1 (t) = e ^ {2t} \ cdot x_1 (0) $$ $$ x_2 (t) = e ^ {- 2t} \ cdot x_2 (0) $$ pero entonces $$ x_1 (t) \ cdot x_2 (t) = 1 \ cdot x_1 (0) \ cdot x_2 (0) \ rightarrow hyperbole $$
Por supuesto, las matemáticas parecen legítimas, pero la misma solución podría haberse aplicado en el ejercicio anterior, lo que hubiera llevado a algo diferente. ¿Hay un error, o por qué es esta la forma correcta?
