¿Se puede calcular la respuesta transitoria de un sistema utilizando FFT y FFT inversa?

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Tengo un sistema, su entrada y salida tienen la siguiente relación.

QuierosaberlarespuestatransitoriadelsistemaconrespectoaunaentradaderampaXi=t,resolviendolaecuacióndiferencial,larespuestaqueobtuvees

Xo=t-sin(t);

Ahoraquieroobtenerlarespuestatransitoriautilizandootrométodo,

esdecir,primerodescomponerlaseñaldeentradaenunaseriedeseñalessinusoidales

luegocalculelarespuestadelsistemadecadaseñalsinusoidal

enlaúltimasumadetodaslasrespuestasdelaseñalsinusoidal.

EstemétodoimplicaelusodeFFTyFFTinversa.Lospasosdetalladosson

  1. CalculelafuncióndetransferenciadelsistemaG(s).Sustituyas=jw,deestamanerapuedoobtenerelnúmerocomplejoG(jw)conrespectoacadafrecuenciaw.

  2. ProceselaseñaldeentradausandoFFTparaobtenerelnúmerocomplejoconrespectoacadacomponentedefrecuencia.

  3. multiplicaelnúmerocomplejoenlospasos1y2paralasmismasfrecuencias.

  4. usandoFFTinversaparaprocesarlosresultadosobtenidosenelpaso3pararecuperarlaseñaleneldominiodeltiempo.

Esperabaquepudieraobtenerlarespuestatransitoriautilizandoestemétodoyelresultadodeberíaserelmismoqueelquecalculéalresolverlaecuacióndiferencialeneldominiodeltiempo.Peroenrealidad,mequedéatascadoenelpaso1.Debidoaquelafuncióndetransferenciadelsistemaes

Encontré que en w = 1 rad / s, este G (jw) es infinito. Esto significa que si la entrada tiene un componente de frecuencia de 1 rad / s, pasando por el sistema (paso 3), la amplitud de este componente de frecuencia se amplificará a infinito. Obviamente, esto conducirá a una salida transitoria diferente de la que obtuve anteriormente.

¿Alguien puede indicar dónde hice mal? Si todo lo que hice es correcto, ¿significa que no podemos obtener una respuesta transitoria utilizando este método de análisis de frecuencia?

    
pregunta Jake

1 respuesta

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El primer error teórico al señalar es tratar de aplicar FFT (Transformada Rápida de Fourier) a una señal de tiempo continuo, ya que solo tendría sentido el tiempo discreto. Si realmente te refieres solo a FT (Transformada de Fourier), entonces te estarás metiendo en un agujero, ya que el FT para una rampa no es muy bonito: enlace de wikipedia .

En cambio, deberías estar pensando en Laplace. La transformada de Laplace \ $ X (s) \ $ para una rampa \ $ x (t) = t \ $ es:

$$ X (s) = \ frac {1} {s ^ 2} $$

La transformada de Laplace \ $ Y (s) \ $ de la salida \ $ y (t) \ $ será:

$$ Y (s) = G (s) X (s) = \ frac {1} {(s ^ 2 + 1) s ^ 2} $$

El inverso de Laplace \ $ y (t) \ $ se puede dar mediante fracciones parciales:

$$ Y (s) = \ frac {1} {s ^ 2} - \ frac {1} {s ^ 2 + 1} $$

$$ y (t) = t- \ sin (t) $$

    
respondido por el Vicente Cunha

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