Tengo una confusión entre la transformada de Laplace de un circuito y el análisis de CA en el dominio de la frecuencia. Supongamos que tenemos un circuito resonante RLC en serie conectado a una fuente de tensión sinusoidal ideal.
podemos escribir $$ V_m \ sin (\ omega t) = i R + \ frac {1} {C} \ int i dt + L \ frac {di} {dt} $$
ahora si tomamos la transformada de Laplace (suponiendo que la corriente inicial del inductor es cero),
$$ \ frac {V_m \ omega} {s ^ 2 + \ omega ^ 2} = I (s) \ big (R + \ frac {1} {s C } + s L \ big) \ Rightarrow I (s) = \ frac {V_m \ omega} {(s ^ 2 + \ omega ^ 2) \ big (R + \ frac {1} {s C} + s L \ grande)} \ tag {A} $$
Por otra parte, utilizando el análisis de dominio de frecuencia podemos derivar la corriente como, $$ I = \ frac {V_m} {R + j \ omega L + \ frac {1} {j \ omega C}} \ tag {B} $$
Mi pregunta es: ¿Cómo podemos deducir (B) directamente de (A) sin la transformada de Laplace inversa? simplemente poniendo \ $ s = j \ omega \ $ no se reproducirá simplemente (A).
Para desarrollar más mi pregunta: si tenemos una corriente de una sucursal como la forma de $$ I_n = \ frac {V_n (s \ sin \ theta + \ omega_1 \ cos \ theta)} {s ^ 2 + \ omega_1 ^ 2} \ frac {1} {Z_1 ( s)} $$
podemos deducir directamente (sin tomar la inversa) que la rama en particular está actuando de manera efectiva ya que está conectada a una fuente de voltaje de \ $ V_n \ sin (\ omega_1 t + \ theta ) \ $ y la impedancia de la rama es \ $ Z_1 (j \ omega) \ $ ?