Hablemos de un circuito de la serie RLC. R, L y C están en serie con una batería y un interruptor. El interruptor está abierto. L y C están dados de alta.
En t = 0, el interruptor está cerrado y la batería (V1) alimenta el circuito.
Para encontrar la ecuación del voltaje a través del capacitor, aplico KVL al circuito y obtengo esto:
\ $ V_1 (t) = Ri + L \ frac {di} {dt} + V_C (t) \ $
esto se convierte más adelante en esto:
\ $ \ frac {V_1} {LC} = \ frac {d ^ 2V_C (t)} {dt ^ 2} + \ frac {R} {L} \ frac {dV_C (t)} {dt} + \ frac {1} {LC} V_C (t) \ $
Después de unas pocas horas o de la fusión del cerebro, obtengo el resultado final para la ecuación de voltaje a través del condensador
ATORNADO CRÍTICAMENTE
\ $ V_C (t) = (En + B) \ thinspace e ^ {- \ alpha t} \ $
OVERDAMPED
\ $ V_C (t) = Ae ^ {m_1t} + Be ^ {m_2t} \ $
UNDERDAMPED
\ $ V_C (t) = e ^ {- \ alpha t} [K_1 \ thinspace Cos (\ omega_d t) + K_2 \ thinspace Sin (\ omega_d t)] \ $
La pregunta ahora es: ¿cómo puedo encontrar las ecuaciones actuales para los tres casos?
Lo único que puedo ver es que la corriente en un condensador es igual a
\ $ i_c = C \ frac {dv} {dt} \ $
Si R, L y C están en serie, la corriente es la misma para los tres.
Entonces, todo lo que tengo que hacer es tomar la derivada de las ecuaciones de voltaje, eso me dará, si no hay un error en mi matemática, las ecuaciones actuales ...
ATORNADO CRÍTICAMENTE
\ $ i (t) = e ^ {- \ alpha t} (A - \ alpha At - \ alpha B) \ $
OVERDAMPED
\ $ i (t) = m_1Ae ^ {m_1t} + m_2Be ^ {m_2t} \ $
UNDERDAMPED
\ $ i (t) = - \ alpha e ^ {- \ alpha t} (K1 Cos (\ omega_d t) + K_2 Sin (\ omega_d t)] + \ omega_d e ^ {- \ alpha t} (K_2 Cos (\ omega_d t) - K_1 Sin (\ omega_d t)] \ $
Preguntas:
- es así como encuentras las ecuaciones actuales para ese tipo de circuito, si no, indícame en la dirección correcta.
- ¿Son correctas estas ecuaciones para la corriente?
gracias
EDITAR: He encontrado esta página que da las mismas ecuaciones para la corriente que he encontrado para el voltaje (??)