Vamos a escribir la solución del libro con más detalle.
Primero, por definición, una señal de tiempo discreto es periódica con el período N 0 si para todos n , \ $ x [n + N_0] = x [n] \ $.
Por eso nos interesan los casos en los que
\ $ \ exp (j2 \ pi {} mn / N) = \ exp (j2 \ pi {} m (n + N_0) / N) \ $.
Sabemos que el complejo exponencial, considerado como una función continua, se repite cada vez que su argumento avanza por \ $ 2 \ pi \ $. Por lo tanto, nuestra igualdad se mantiene siempre que la diferencia de fase entre los argumentos aumenta en algún múltiplo de \ $ 2 \ pi \ $, es decir, cuando hay un k tal que
\ $ 2 \ pi {} mn / N + 2 \ pi {} k = 2 \ pi {} m (n + N_0) / N \ $.
Podemos eliminar los términos aquí para obtener
\ $ mn / N + k = mn / N + mN_0 / N \ $
y más allá
\ $ k = mN_0 / N \ $
Por lo tanto, el período de nuestra función de tiempo discreto es
\ $ N_0 = Nk / m \ $
Pero N 0 debe ser un número entero, y también queremos el menor valor posible de N 0 para obtener la frecuencia fundamental . Eso significa que queremos el k más pequeño que hace que Nk / m sea un entero.
Permite escribir esto en términos de los factores primos de N y m :
\ $ N_0 = \ dfrac {k \ Pi_p n_p} {\ Pi_q m_q} \ $
Para que este sea un número entero, necesitamos que k esté formado por todos los factores de m , excepto los que se tienen en común con N .
\ $ k = \ dfrac {\ Pi_q m_q} {\ Pi _ {\ mathrm {common \ factors}} m_q} \ $
Pero el numerador aquí es solo m , y el denominador aquí es solo el gcd de N y m , así que tenemos
\ $ m / k = \ gcd (N, m) \ $
que es lo que intentábamos mostrar.
TL; DR: es para que funcione de manera que N 0 sea un entero.