Cómo aplicar la transformación de Fourier a \ $ 0.5 ^ n u u (n) \ $

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Estoy trabajando en una clase de señales para señales continuas, y tenemos este problema que se muestra arriba. He intentado usar esta función \ $ f_1 * f_2 = F_1 * F_2 \ $, donde asumo que esto significa que la multiplicación de dos funciones es igual a la convolución de sus transformadas de Fourier. Estoy usando \ $ f_1 = 0.5 ^ n \ $ y \ $ f_2 = u (n) \ $.

Por lo tanto, puedo calcular la regla de Fourier de \ $ u (n) \ $ fine. Es \ $ \ pi \ delta (\ omega) + 1 / (j \ omega)) \ $. Sin embargo, no puedo por mi vida descifrar \ $ 0.5 ^ n \ $. Intenté ponerlo en la integral de la transformada de Fourier de \ $ (0.5 ^ t) / (e ^ {j \ omega t}) dt \ $ del infinito negativo al infinito, pero termino con \ $ 0.5t / e ^ {jw} \ $, y cuando se evalúa de infinito negativo a infinito, termino con \ $ \ infty \ $ como mi respuesta, a menos que, por supuesto, la integración sea incorrecta.

Por lo tanto, cualquiera de las dos respuestas es \ $ \ infty * \ pi \ delta (w) + 1 / (j \ omega) \ $, que cuando está enrevesada sería igual a la segunda función ...? O ¿estoy yendo por este problema completamente mal?

    
pregunta nathpilland

1 respuesta

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Creo que es mejor que no dividas las funciones. Si desea calcular la transformada de Fourier de \ $ 0.5 ^ t u (t) \ $, entonces puede poner todo eso en la integral. Por lo tanto, sus límites integrales se convertirán en \ $ 0 \ $ a \ $ + \ infty \ $ debido a \ $ u (t) \ $. Y su resultado integral no debe ser infinito porque su función \ $ 0.5 ^ t \ $ va a cero.

Resolviendo la integral:

\ $ \ large \ int_0 ^ \ infty e ^ {(- jwt)}. 0.5 ^ t dt \ $

la parte interior podría ser reescrita:

\ $ \ huge \ frac {e ^ {(- jwt)}} {2 ^ t} = > (\ frac {e ^ {(- jw)}} {2}) ^ t \ $

Podría nombrar \ $ \ large \ frac {e ^ {(- jw)}} {2} = u \ $ para obtener una integral de \ $ \ large u ^ t dt = \ frac {u ^ t} {ln (u)} + C \ $

Entonces obtienes (reemplazando u):

\ $ \ huge \ frac {(\ frac {e ^ {- jw}} {2}) ^ t} {ln (e ^ {- jw} / 2)} \ $

Cuando t va a \ $ + \ infty \ $, obtienes cero. Cuando llega a cero se obtiene:

\ $ \ large \ frac {1} {ln (e ^ {- jw} / 2)} \ $

que nos dejó:

\ $ \ large \ frac {1} {- jw - ln (2)} \ $

No estoy seguro de que no me haya perdido en los cálculos, pero creo que es correcto.

    
respondido por el Felipe_Ribas

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