¿Por qué las ecuaciones de resistencia / resistividad están formuladas como están?

Primero, es para enfatizar que (en la mayoría de los casos) \ $ \ alpha \ $ < < 1.

En segundo lugar, \ $ \ alpha \ $ es una función del material y la temperatura, no es una función de la construcción de la resistencia. Cualquier resistencia de ese material, a esa temperatura, tendría (idealmente) el mismo \ $ \ alpha \ $.

Su \ $ \ alpha_2 \ $ depende de \ $ R_0 \ $ por lo que sería diferente para cada resistencia. Eso es muy inconveniente.

Si bien su forma [mi] es más atractiva matemáticamente, mi conjetura es que simplifica los cálculos comunes que necesita hacer con la resistividad y la resistencia.

Por ejemplo, dado que \ $ R (dT) = \ frac {\ rho (dT) L} {A} \ $, la ecuación de resistividad se transforma en \ $ R (dT) = R (0) + \ alpha_1 \ frac {L} {A} \, \ dT = R (1) + \ alpha_2 dT \ $

¡Tenga en cuenta que ahora necesita dos coeficientes \ $ \ alpha \ $ diferentes! Con la forma establecida, son las mismas.

También simplifica las unidades: \ $ ^ \ circ \ text {C} ^ {- 1} \ $ en lugar de \ $ ^ \ circ \ text {C} ^ {- 1} \ Omega \ text {m} \ $ para resistividad y también \ $ ^ \ circ \ text {C} ^ {- 1} \ Omega \ $ para resistencia.

Uno podría argumentar que tener dos coeficientes y dos unidades diferentes tiene más sentido, ya que estás calculando dos cantidades diferentes. Tal vez alguien con más experiencia realmente sepa por qué se tomó la decisión.

La respuesta de Spehro es correcta. Simple e intuitivo, con un buen uso de la máquina de afeitar de Occam para justificar la forma de la ecuación.

Sin embargo, dado que existen buenas razones matemáticas para su forma, vale la pena mostrar su origen. Primero, el coeficiente térmico de resistividad está definido por la ecuación diferencial

\ $ \ frac {\ text {d $ \ rho $}} {\ text {dT}} \ $ = \ $ \ alpha \ rho (T) \ $

Cuando se resuelve con una condición límite de \ $ \ rho (T_o) \ $ = \ $ \ rho _o \ $ se obtiene una forma exponencial de resitividad en función de la temperatura:

\ $ \ rho (T) \ $ = \ $ \ rho _o e ^ {\ alpha \ left (T-T_o \ right)} \ $

Esta forma exponencial contiene una aproximación, es decir, que el coeficiente térmico \ $ \ alpha \ $ es una constante. Para los materiales estructurados más simples (en su mayoría metales), y con un rango de temperatura restringido (como entre ~ 250K y 350K), esto será casi cierto. \ $ \ alpha \ $ no es realmente una constante para temperaturas más extremas, especialmente temperaturas bajas (criogénicas).

Se realiza una segunda aproximación tomando una expansión de la serie de potencias de la forma exponencial, manteniendo solo los dos primeros términos para obtener una forma de primer orden (lineal). Sin secreto, esta es la forma habitual de obtener un modelo de primer orden de cualquier cosa.

\ $ \ rho (T) \ $ = \ $ \ rho _o \ left [1+ \ alpha \ left (T-T_o \ right) \ right] \ $

Entonces, la forma lineal que expresa la resistividad en función de la temperatura es realmente una aproximación de una aproximación. Por lo general, la forma lineal es lo suficientemente buena para la región de interés en la electrónica. Por ejemplo, para Cu \ $ \ alpha \ $ es 0.004, y si \ $ \ text {$ \ Delta $ T} \ $ es 50K, la diferencia de resistividad entre las ecuaciones exponenciales y lineales es inferior al 2%. Por supuesto, cuanto más pequeño sea el exponente, más precisa será la forma lineal.