Dado el puente de Wheatstone que se muestra con la entrada de CA, ¿cómo se obtiene la relación C2 * R2 = C1 * R1? La impedancia entre los nodos no parece poder simplificarse de manera que la relación sea fácilmente visible a través del análisis de la función de transferencia.
Esta pregunta vino originalmente de aquí: enlace
Si R2 es K veces R1, entonces C1 tiene que ser K veces C2. Es tan simple como eso a menos que me esté perdiendo algo obvio. Es eso por inspección.
En cualquier frecuencia, la relación de impedancia de R1 a XC1 debe ser igual a R2 a XC2.
\ $ \ dfrac {R_1} {\ frac {1} {sC_1}} \ $ = \ $ \ dfrac {R_2} {\ frac {1} {sC_2}} \ $
Por lo tanto, R1C1 = R2C2
El problema principal al tratar de simplificar este circuito es que parece haber un nodo importante en un punto determinado, por lo que no parece posible una simplificación. La clave aquí es que el circuito debe estar equilibrado . Esto implica que Vout1 y Vout2 están en potenciales iguales. Esto significa que podemos simplificar este problema mirando solo cada mitad por separado.
Si lo piensa en términos de un divisor de voltaje, debe transferir los condensadores utilizando la transformada laplace. Eso funciona así:
R- > r
C- > 1 / (Cs)
Ahora tiene dos divisores de voltaje, y en ambos casos, Vin y Vout deben ser iguales. Una función de transferencia es literalmente Vout / Vin. Entonces, si encontramos las funciones de transferencia de cada una, las hacemos equivalentes y deberíamos terminar con la relación planteada en la pregunta, es decir, R1 * C1 = R2 * C2.
\ $ V_o = V_i * (\ frac {R_1} {R_1 + \ frac {1} {C_1s}}) \ $
\ $ H (s) = \ frac {V_o} {V_i} = \ frac {R_1} {R_1 + \ frac {1} {C_1s}} \ $
La segunda función de transferencia tendrá un aspecto muy similar. Entonces, solo hay que establecerlos iguales entre ellos:
\ $ \ frac {R_1} {R_1 + \ frac {1} {C_1s}} = \ frac {R_2} {R_2 + \ frac {1} {C_2s}} \ $
Desde aquí solo es álgebra para reorganizar los elementos para llegar a la solución.
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