Usamos la transformada laplace para convertir la ecuación diferencial del dominio del tiempo a la ecuación algebraica del dominio de la frecuencia. Debido a esto, las ecuaciones se vuelven más fáciles de resolver.
Pero no puedo analizar el dominio s como lo podemos hacer con el dominio del tiempo. Así que quiero saber la importancia del dominio s y cómo lo analizamos.
El dominio \ $ s \ $ - o dominio de frecuencia no es realmente lo que es especial. Es la transformada de Laplace que es especial. Con los supuestos apropiados, la transformada de Laplace da una equivalencia entre las funciones en el dominio del tiempo y las del dominio de la frecuencia.
La transformada de Laplace es útil porque intercambia las operaciones de diferenciación y multiplicación por la coordenada local \ $ s \ $, hasta el signo. Esto permite resolver ecuaciones diferenciales ordinarias tomando la transformada de Laplace, obteniendo ecuaciones polinomiales en el dominio \ $ s \ $, resolviendo esa ecuación polinomial y luego transformándola de nuevo al dominio del tiempo. Del mismo modo, las ecuaciones diferenciales ordinarias en el dominio \ $ s \ $ - corresponden a ecuaciones polinomiales en el dominio del tiempo.
Voy a trabajar aquí para ilustrar el ejemplo fácil y canónico.
Resuelve las diferencias ordinarias eq: $$ f '(t) = f (t), f (0) = 1 $$
Deje que \ $ L \ $ denote la transformación de Laplace. El teorema sobre la transformada de Laplace que necesitaremos usar para cambiar la diferenciación y la multiplicación es $$ L (f ') = sL (f) -f (0). $$ Para comenzar a resolver nuestra ecuación diferencial, tomamos la transformada de Laplace de ambos lados $$ L (f ') = L (f) $$ Lo que lo convierte en la ecuación polinomial. $$ sL (f) -f (0) = L (f). $$
Resolviendo para \ $ L (f) \ $ encontramos que $$ L (f) = \ frac {1} {s-1}. $$
La transformada inversa de Laplace nos da eso \ $ f (t) = e ^ {t} \ $.
Verificamos que esto satisfaga nuestra diferencia original $$ (e ^ {t}) '= e ^ {t}, e ^ 0 = 1 $$
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