Bien, como ahora tenemos otra respuesta, también agregaré mi comentario como respuesta:
La matemática es correcta, si se calcula la integral, se obtiene
$$ V_ {1/2} = kQ '\ int_0 ^ a \ frac {1} {x} \, dx = kQ' (\ ln (a) \ underbrace {- \ ln (0)} _ {= + \ infty}) = + \ infty $$
Si esto parece extraño, tenga en cuenta el potencial bien conocido de un cargo puntual:
$$ V (r) = \ frac {Q} {4 \ pi \ varepsilon_0} \ frac {1} {r} $$
Para \ $ r \ to0 \ $, esto también aumenta a \ $ + \ infty \ $.
Acerca de la respuesta de @Andy aka:
La capacitancia es cero porque la brecha es infinita, por lo tanto, V es infinita.
Aunque suene elegante, en general está mal.
Supongo que esto surge de la fórmula
$$ C = \ varepsilon_0 \ frac {A} {d} $$
para la capacitancia de un capacitor de placa paralela. De hecho, cuando d se vuelve infinito, C se vuelve cero. Pero esta fórmula solo es válida para un condensador ideal, donde d no es demasiado grande, en comparación con el tamaño de las placas.
Si la distancia es grande, las placas ya no se comportan como un capacitor ideal de placas paralelas, el campo se parece más al de dos esferas de carga. Y la capacitancia de dos esferas de radio R y distancia D es:
$$ C = 2 \ pi \ varepsilon_0 \ left (\ frac {1} {\ frac {1} {R} - \ frac {1} {DR}} \ right) \ quad \ xrightarrow {D \ \ a \ \ infty} \ quad C = 2 \ pi \ varepsilon_0 R $$
Si las esferas tienen el mismo origen pero diferentes radios \ $ R_ {interno} \ $ y \ $ R_ {exterior} \ $:
$$ C = 4 \ pi \ epsilon_0 \ frac {1} {\ frac {1} {R_ {exterior}} - \ frac {1} {R_ {interno}}} \ quad \ xrightarrow {R_ {externo } \ \ a \ \ infty} \ quad C = 4 \ pi \ epsilon_0 R_ {inner} $$
Por lo tanto, el hecho de tener una distancia infinita no conduce a una capacitancia de cero. (Este efecto es, por cierto, las calles autocapitancia )
Para las matemáticas, ver más abajo.
Es interesante que una carga puntual tenga un potencial infinito, y una distribución de carga unidimensional como en esta pregunta también tiene un potencial infinito. Pensando en esto, llegué a la conclusión de que una distribución de carga sin volumen tiene un potencial infinito .
La razón de esto se puede entender a partir de la primera ecuación de Maxwell (o la ecuación de Gauss):
$$ \ int_A \ vec {E} \, d \ vec {A} = \ varepsilon_0 \ int_V \ rho \, d \ vec {V} $$
Si observamos un punto / línea / plano cargado, siempre podemos colocar una superficie cerrada a su alrededor, de manera que la carga esté completamente cerrada y el campo eléctrico tenga la misma fuerza en todas partes (implica que E es perpendicular en superficie, ya que también es conservadora). Entonces, la ecuación se vuelve tan simple como:
$$ E \ cdot A = \ varepsilon_0 \ cdot Q $$
Ahora, podemos elegir una superficie cada vez más pequeña, como las conchas de una cebolla. A va contra cero, y como Q es constante, E tiene que elevarse contra el infinito. Y dado que el potencial es la integral del campo E (a lo largo de un camino), el potencial también aumenta hasta el infinito.
Si la distribución de carga tiene un volumen, la carga incluida no es constante. Por ejemplo, una esfera cargada, homogénea y cargada de radio R tiene el potencial
$$ V (r) = \ begin {cases} 4 \ pi \ varepsilon_0 \ cdot \ frac {r} {R ^ 2} & \ text {for} & r \ le R \\ 4 \ pi \ varepsilon_0 \ cdot r & \ text {for} & r \ ge R \ end {cases} $$
Acerca de las matemáticas:
El campo potencial de una esfera de cargas es el de una carga puntual en su centro, es decir, \ $ V (r) = \ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon_0} \ frac {Q} {r} \ $
Esferas del mismo tamaño:
Para las dos esferas del mismo tamaño con carga opuesta, el campo potencial es
$$ V_ {tot} (r) = V (r) -V (| Dr |) = \ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon_0} \ left (\ frac {Q} {r} - \ frac {Q } {| Dr |} \ right) $$
Ahora, las esferas tienen un radio R, entonces la diferencia de potencial es
$$ U = \ Delta V_ {tot} = V_ {tot} (DR) -V_ {tot} (R) = ... = \ frac {2} {4 \ pi \ varepsilon_0} \ left (\ frac {Q } {R} - \ frac {Q} {DR} \ right) $$
Ahora, es solo
$$ C = \ frac {Q} {U} = 2 \ pi \ varepsilon_0 \ left (\ frac {1} {\ frac {1} {R} - \ frac {1} {DR}} \ right) $$
Esferas con el mismo centro:
$$ V_ {interno} (r) = \ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon_0} \ frac {Q} {r} \ quad \ text {para} \ quad r \ ge R_ {interno} $ $
$$ V_ {externo} (r) = \ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon_0} \ frac {-Q} {r} \ quad \ text {para} \ quad r \ ge R_ {externo} $$
Fuera de la esfera exterior, el campo se cancela entre sí. El potencial en la esfera externa es generado solo por la esfera interna. Por lo tanto, la diferencia de potencial es
$$ U = V_ {interno} (R_ {interno}) - V_ {interno} (R_ {externo}) $$
y
$$ C = \ frac {Q} {U} = 4 \ pi \ varepsilon_0 \ left (\ frac {1} {\ frac {1} {R_ {exterior}} - \ frac {1} R_ {interior }} \ right) $$
