¿Cómo simplifico esta ecuación usando la lógica booleana?

La única forma de "simplificar" esta ecuación sería introducir las operaciones XOR y XNOR. Mediante la inspección, puede determinar que un número impar de variables debe ser verdadero, lo que indica que utiliza XOR.

\ $ S_i = A_i \ oplus B_i \ oplus C_ {i-1} \ $

No puede simplificarlo más sin introducir el operador \ $ \ oplus \ $ (XOR). El operador \ $ \ oplus \ $ se define como: $$ A \ oplus B = \ bar A \ cdot B + A \ cdot \ bar B = (A + B) \ cdot (\ bar A + \ bar B) $$

Esto nos permite reescribir la ecuación: $$ S_i = \ bar {A_l} \ bar {B_l} C_ {i-1} + \ bar {A_l} {B_l} \ bar {C_ {i-1}} + {A_l} \ bar {B_l} \ overline {C_ {i-1}} + {A_l} {B_l} {C_ {i-1}} \\ = \ bar {A_l} (\ bar {B_l} C_ {i-1} + {B_l} \ bar {C_ {i-1}}) + {A_l} (\ bar {B_l} \ overline {C_ {i-1}} + {B_l} {C_ {i-1}}) $$ Usando la ley de De Morgan para reformular $$ \ bar {B_l} \ overline {C_ {i-1}} + {B_l} {C_ {i-1}} = \ overline {B_l + C_ {i-1}} + \ overline {\ bar {B_l} + \ overline {C_ {i-1}}} = \ overline {(B_l + C_ {i-1}) \ cdot (\ bar {B_l} + \ overline {C_ {i-1}})} $$ Obtenemos: $$ S_i = \ bar {A_l} (\ bar {B_l} C_ {i-1} + {B_l} \ bar {C_ {i-1}}) + {A_l} \ left (\ overline {(B_l + C_ {i-1}) \ cdot (\ bar {B_l} + \ overline {C_ {i-1}})} \ right) $$ Usando nuestra nueva operación \ $ \ oplus \ $ esto puede escribirse: $$ S_i = \ bar {A_l} ({B_l} \ oplus C_ {i-1}) + {A_l} (\ overline {{B_l} \ oplus C_ {i-1}}) \\ = A_l \ oplus (B_l \ oplus C_ {i-1}) \\ = A_l \ oplus B_l \ oplus C_ {i-1} $$

O podríamos haber escrito una tabla de verdad:

   BC|0 0|0 1|1 0|1 1
 A   |   |   |   |   
-----+---+---+---+---
 0   | 0 | 1 | 1 | 0 
-----+---+---+---+---
 1   | 1 | 0 | 0 | 1 

Aquí vemos que \ $ S_i \ $ es verdadero exactamente si un número impar de las entradas \ $ A_l, B_l, C_ {i-1} \ $ es verdadero. Así es exactamente cómo funciona el operador \ $ \ oplus \ $.