Entonces para el siguiente dispositivo:
Estoy tratando de averiguar el par de torsión. Para hacer eso, necesito el área de la brecha. En la solución, dice que el volumen de la brecha es: $$ 2gh (r_1 + 0.5g) \ theta $$
Pero la parte de \ $ r_1 + 0.5g \ $ realmente me confunde. No estoy seguro de dónde viene eso. ¿No se supone que sea \ $ 2gh (2r_1) \ theta \ $?
El volumen que está tratando de calcular es un área entre arcos del mismo ángulo interno, pero de diferente radio. Se llama sector anular :
Ahora,técnicamente,necesitaráunpocodematemáticasparacalcularestosinningunareferencia,peroalfinal,elvolumenesigualaláreadeestapequeñaregión,multiplicadaporlaaltura(queeshentucaso).
Prácticamente,deacuerdoconlaformaanteriorylaimagenquepublicaste,tienesunáreaquevadesderaRo,desdetuforma,vadesde\$r_1\$a\$r_1+g\$.
Tienesdoscoordenadas(estassoncoordenadaspolaresaquí),elradio\$r\$yelángulo\$θ\$(unparámetro),quevadesde\$0\$a\$θ\$(elvalorreal)ensucaso.Recuerdedelcálculodiferencialqueelelementodelárea
Por lo tanto, el área que desea calcular está dada por una doble integral del elemento del área sobre los rangos que abarcan las dos coordenadas en el área dada:
\ $ \ int_ {0} ^ {θ} (\ int_ {r_1} ^ {r_1 + g} rdr) dθ \ $
Debido a que la función en la integral interna no contiene ningún \ $ θ \ $, las dos integrales se pueden separar y calcular como múltiplos:
\ $ \ int_ {0} ^ {θ} dθ (\ int_ {r_1} ^ {r_1 + g} rdr) = \ left [θ \ right] _ {0} ^ {θ} \ left [\ frac {r ^ 2} {2} \ derecha] _ {r_1} ^ {r_1 + g} = \ frac {1} {2} θ \ izquierda [r ^ 2 \ derecha] _ {r_1} ^ {r_1 + g} = \ frac {1} {2} θ \ izquierda [\ izquierda (r_1 + g \ derecha) ^ 2 - \ izquierda (r_1 \ derecha) ^ 2 \ derecha] = \ frac {θ} {2} \ izquierda [r_1 ^ 2 + 2r_1g + g ^ 2 - r_1 ^ 2 \ right] = \ frac {θ} {2} \ left [2r_1g + g ^ 2 \ right] = θg \ left (r_1 + \ frac {g} {2} \ right) \ $
Esto es solo un lado del rotor. Dos veces que es igual al área de ambos lados:
\ $ A = 2g \ left (r_1 + \ frac {g} {2} \ right) θ \ $
Esta es el área. Si multiplica con la altura \ $ h \ $ (dimensión vertical), obtendrá el volumen que está buscando:
\ $ V = 2gh \ left (r_1 + 0.5g \ right) θ \ $
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