Cancelación del estado transitorio en el circuito RLC

0

Tengo un problema con la siguiente pregunta:

  

Tenemos un circuito LRC (L, R, C todo en serie) con una fuente \ $ E (t) = Vsin (\ omega t + \ phi) \ $. ¿Es posible elegir la fase \ $ \ phi \ $ para   que podemos cancelar el estado transitorio y pasar directamente al estado estacionario   en \ $ t = 0+ \ $? La carga en el condensador y la corriente en el   Los inductores son inicialmente cero.

El libro de soluciones es vago y solo indica (la traducción puede ser mala):

  

Imposible debido a las relaciones en cuadratura.

¿Alguien podría decirme por qué es imposible, en una solución lo suficientemente detallada?

Hice un ejercicio similar con un circuito RC y llegué fácilmente a la conclusión de que, para cancelar el estado estable, debo tener \ $ \ phi = arctg \ left (RC \ omega \ right) \ $. La forma en que lo resolví fue calcular para qué fase obtengo cero en la transformada de Laplace de la respuesta. El problema con un sistema de segundo orden, como un circuito LRC, es que no puedo usar el mismo método lo suficientemente rápida y confiable debido a lo complicadas que se vuelven las ecuaciones al aislar la respuesta transitoria en el dominio s.

¿Hay alguna forma de saber que es imposible sin pasar dos horas en las ecuaciones de Laplace?

¡Gracias!

    
pregunta Yannick

1 respuesta

2

Aquí hay una manera. La respuesta forzada de estado estable de la tensión a través del capacitor sería: $$ v_C (t) = K \ sin (wt + \ theta) $$ $$ i_C (t) = C \ frac {dv_C} {dt} = CwK \ cos (wt + \ theta) $$

En el momento = 0, aplique las dos condiciones iniciales y compárelas con la respuesta forzada de estado estacionario puro: $$ v_C (0) = 0 = K \ sin (\ theta) $$ $$ i_C (0) = i_L (0) = 0 = CwK \ cos (\ theta) $$

Está claro que tal solución no existe porque no es posible para: \ $ \ sin (\ theta) = \ cos (\ theta) = 0 \ $ para cualquier \ $ \ theta \ $.

Por lo tanto, en el momento 0, la respuesta no puede ser un estado estacionario puro. Debe haber términos para la respuesta natural / transitoria en esas ecuaciones en el tiempo 0.

Un resumen de esto es que la respuesta de estado estable de la función de forzamiento dada es sinusoidal, por lo que el voltaje y la corriente en el capacitor tienen una diferencia de fase de 90 \ $ ^ \ circ \ $. Pero en el momento cero, las condiciones iniciales dictan que el voltaje y la corriente a través del condensador sean 0. Por lo tanto, no existe una solución de estado estable no trivial en el momento 0.

    
respondido por el rioraxe

Lea otras preguntas en las etiquetas