Sobre el uso de un número complejo en el análisis de estado estable de CA

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Mi pregunta es esencialmente acerca de la representación polar de números complejos utilizados en el análisis de estado estable de los circuitos de CA.

Por lo que sé, un número complejo \ $ a + jb \ $ se representa como \ $ M \ angle \ theta \ $, donde M es la magnitud del número complejo y \ $ \ theta \ $ es el ángulo que hace con el eje x positivo.

Pero en el análisis de circuitos reemplazamos \ $ A \ cos (\ omega t + \ theta) \ $ por \ $ A \ angle \ theta \ $, que no está de acuerdo con la forma en que se representan los números complejos. Según yo, \ $ A \ cos (\ omega t + \ theta) \ $ debería escribirse como \ $ Re (A \ angle \ theta) \ $, porque es la parte real del número complejo \ $ A e ^ {j (\ omega t + \ theta)} \ $ (Sé que eliminamos la parte \ $ \ omega t \ $ ya que permanece igual para todas las corrientes y voltajes en un circuito que consta de componentes lineales).

    
pregunta Abhirikshma

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El punto principal de la pregunta es por qué es válido reemplazar el término \ $ A \ cos (\ omega t + \ theta) \ $ por \ $ A \ angle \ theta \ $.

La expresión \ $ A \ angle \ theta \ $ es una notación para \ $ A e ^ {j \ theta} \ $, que se llama la representación del fasor.

En realidad, no hay una identidad que dé lugar directamente a esta representación, en lugar de eso se define una transformación fasor como sigue $$  A e ^ {j \ theta} = {\ cal P} \ left \ {A cos (\ omega t + \ theta) \ right \} $$ junto con la transformada inversa $$   {\ cal P} ^ {- 1} \ {A e ^ {j \ theta} \} = Re \ left \ {A e ^ {j \ phi} e ^ {j \ omega t} \ right \} $$ A menudo se omite una definición formal, ya que los fasores son bastante comunes y conocidos, pero los buenos libros de texto generalmente los incluyen.

    
respondido por el Mario
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Utilizamos números complejos para simplificar los cálculos matemáticos en circuitos de CA (principalmente para circuitos paralelos y de serie / paralelo). Los circuitos de CA en serie se realizan normalmente con la adición de vectores (pitágoras y trigonometría).

Si sustituyes diferentes valores de t en A cos (ωt + θ), obtendrás una onda de coseno, que tiene una magnitud de A y comienza antes del eje y. Pero no podemos usar esto en los cálculos, por lo que lo convertimos en un vector con magnitud A en un ángulo de fase θ.

La razón por la que los números complejos se pueden usar para representar circuitos de CA es porque la resistencia R actúa a lo largo del eje x (componente real) y la reactancia capacitiva \ $ X_C \ $ y la reactancia inductiva \ $ X_L \ $ actúan a lo largo del eje y.

Esto simplemente corresponde al plano de números complejos, por lo que podemos usar números complejos para simplificar las matemáticas en circuitos de corriente alterna. Z = R + j (\ $ X_L \ $ - \ $ X_C \ $)

También puedes usar Pitágoras y trigonometría para obtener la misma respuesta.

$$ Z = \ sqrt {R ^ 2 + (X_L - X_C) ^ 2} \ \ \ \ \ theta = tan ^ {- 1} \ frac {(X_L - X_C)} {R} $$

La complejidad aumenta cuando tienes que lidiar con circuitos paralelos.

    
respondido por el StainlessSteelRat

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