Tengo la pregunta "El valor instantáneo del voltaje en un circuito a.c. en cualquier momento t segundos viene dado por: $$ V = 100 \ sin (50 \ pi {} t - 0.523) \ \ rm {V} $$
Buscar:
Los tiempos en el primer ciclo cuando el voltaje es -40V ".
Aquí está mi intento:
Mi respuesta final es t = 5.949 ms, sin embargo, las soluciones dicen que la respuesta debería ser 25.95 ms.
¿En qué me he equivocado?
Tienes: $$ \ begin {align *} V_t & = 100 \: \ textrm {V} \ cdot \ operatorname {sin} \ left (2 \ pi \: \ operatorname {rad} \ cdot25 \ operatorname {Hz} \ cdot \: t - 0.523 \ operatorname {rad }\Correcto) \ end {align *} $$
Y desea resolver \ $ t \ $ donde \ $ t \ ge 0 \ $ y \ $ V_t = -40 \: \ textrm {V} \ $. Entonces, configuremos \ $ x \ $ de la siguiente manera:
$$ x = 2 \ pi \: \ operatorname {rad} \ cdot \: 25 \ operatorname {Hz} \ cdot \: t - 0.523 \ operatorname {rad} $$
Entonces tenemos:
$$ \ begin {align *} -40 \: \ textrm {V} & = 100 \: \ textrm {V} \ cdot \ operatorname {sin} \ left (x \ right) \\\\ \ frac {-40 \: \ textrm {V}} {100 \: \ textrm {V}} & = \ operatorname {sin} \ left (x \ right) \\\\ -0.4 & = \ operatorname {sin} \ left (x \ right) \ end {align *} $$
Antes de seguir adelante, el valor de \ $ x \ $ tiene varias soluciones. Las soluciones son:
$$ \ begin {align *} x & = 2 \ pi \ cdot n + \ operatorname {sin} ^ {- 1} \ left (-0.4 \ right) = 2 \ pi \ cdot n - 0.411516846 \ operatorname {rad} \\ & = 2 \ pi \ cdot n + \ pi- \ operatorname {sin} ^ {- 1} \ left (-0.4 \ right) = 2 \ pi \ cdot n +3.5531095 \ operatorname {rad} \ end {align *} $$
Combinando esta información, tenemos:
$$ \ begin {align *} 2 \ pi \: \ operatorname {rad} \ cdot \: 25 \ operatorname {Hz} \ cdot \: t - 0.523 \ operatorname {rad} & = 2 \ pi \ cdot n - 0.411516846 \ operatorname {rad} \\ 2 \ pi \: \ operatorname {rad} \ cdot \: 25 \ operatorname {Hz} \ cdot \: t - 0.523 \ operatorname {rad} & = 2 \ pi \ cdot n +3.5531095 \ operatorname {rad} \ end {align *} $$
Estos se resuelven como:
$$ \ begin {align *} t & = \ frac {2 \ pi \ cdot n - 0.411516846 \ operatorname {rad} + 0.523 \ operatorname {rad}} {2 \ pi \: \ operatorname {rad} \ cdot \: 25 \ operatorname {Hz}} = \ frac {2 \ pi \ cdot n +0.111483154 \ operatorname {rad}} {2 \ pi \: \ operatorname {rad} \ cdot \: 25 \ operatorname {Hz}} \\\\ t & = \ frac {2 \ pi \ cdot n +3.5531095 \ operatorname {rad} + 0.523 \ operatorname {rad}} {2 \ pi \: \ operatorname {rad} \ cdot \: 25 \ operatorname {Hz}} = \ frac {2 \ pi \ cdot n +4.0761095 \ operatorname {rad}} {2 \ pi \: \ operatorname {rad} \ cdot \: 25 \ operatorname {Hz}} \ end {align *} $$
Esa es la respuesta completa. Pero para los valores de \ $ t \ ge 0 \ $, encontrará lo siguiente para las dos primeras respuestas con \ $ n = 0 \ $:
$$ \ begin {align *} t & = 709.723801 \: \ mu \ textrm {s} \\\\ t & = 25.949319 \: \ textrm {ms} \ end {align *} $$
Espero que ayude. Como puede ver, el truco consiste principalmente en tomar pasos muy cuidadosos y no avanzar demasiado rápido hacia una solución rápida de "calculadora", que quizás encuentre la primera respuesta, pero no la segunda (que parece ser la deseada). )