Así que estoy revisando el libro de texto de Oppenheim (realmente excelente) "Señales y sistemas" (2ª ed.) y el curso MIT asociado y tengo un problema con las propiedades de la transformación de Fourier. En la página 308 (Sec. 4.3, Propiedades de la transformación de Fourier en tiempo continuo), afirma que si x (t) es real e incluso, X (jw) es real e incluso. Estos son los pasos que él sigue para demostrarlo:
Primero, la definición de la transformada de Fourier $$ X (j \ omega) = \ int_ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t) e ^ {- j \ omega t} dt $$ sustituyendo el argumento por su negativo, $$ X (-j \ omega) = \ int_ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t) e ^ {j \ omega t} dt $$ luego haciendo la sustitución $$ \ tau = -t $$ el dice que $$ X (-j \ omega) = \ int_ {- \ infty} ^ {\ infty} x (- \ tau) e ^ {- j \ omega \ tau} d \ tau $$ y así, ya que asumimos que x (t) es real e incluso, podemos reemplazarlo con
$$ X (-j \ omega) = \ int_ {- \ infty} ^ {\ infty} x (\ tau) e ^ {- j \ omega t} d \ tau $$ lo que demuestra que $$ X (-j \ omega) = X (j \ omega) $$ y así X (jw) es par. Pero parece haber ignorado la sustitución diferencial, porque al hacer el cambio de variable, ya que $$ d \ tau = -dt $$ Todo el término de la izquierda se volvería negativo, y encontraríamos lo contrario a lo que el autor pretendía probar, que para un verdadero incluso x (t) X (jw) es de hecho impar. ¿Me estoy perdiendo algo, o hay una prueba más rigurosa de que el autor no va aquí?