¿Cómo puedo encontrar la transformada de Laplace de una función sinc?
Insertando \ $ f (t) = \ frac {\ sin (t)} {t} \ $ dentro \ $ F (s) = \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- st} f (t) dt \ $ da tres funciones dependientes de la variable t dentro de la integral.
¿Seguro que hay una manera menos complicada de resolver esto que mediante la regla de la cadena / sustitución u?
Déjame empezar un poco más general. Supongamos:
$$ f_t = \ frac {g_t} {t} $$
Deberías poder ver que:
$$ \ begin {align *} \ mathcal {L} ^ {- 1} \ left \ {F ^ {'} _ s \ right \} & = -t \ cdot f_t \\ & = -g_t \\\\ & = \ mathcal {L } ^ {- 1} \ left \ {- G_s \ right \} \\\\\ por lo tanto F ^ {'} _ s = -G_s \ end {align *} $$
Entonces:
$$ F_s = -G_s ^ {- 1} + C $$
(Con \ $ G_s ^ {- 1} \ $ como anti-derivado de \ $ G_s \ $.) La transformada de Laplace desaparece en \ $ s = \ infty \ $, por lo que \ $ F_ \ infty = 0 \ $ y \ $ C = G_ \ infty ^ {- 1} \ $. Entonces:
$$ F_s = G_ \ infty ^ {- 1} -G_s ^ {- 1} = \ int_s ^ \ infty G_u \: \ textrm {d} u $$
Claramente:
$$ F_s = \ mathcal {L} \ left \ {f_t \ right \} = \ mathcal {L} \ left \ {\ frac {g_t} {t} \ right \} = \ int_s ^ \ infty G_u \: \ textrm {d} u $$
Una búsqueda en la tabla proporciona: \ $ G_u = \ mathcal {L} \ left \ {g_t \ right \} = \ mathcal {L} \ left \ {\ operatorname {sin} \: t \ right \} = \ frac {1} {s ^ 2 + 1} \ $, luego:
$$ \ begin {align *} \ mathcal {L} \ left \ {\ frac {\ operatorname {sin} t} {t} \ right \} & = \ int_s ^ \ infty \ frac {\ textrm {d} u} {u ^ 2 + 1 } \\\\ & = \ left [\ operatorname {tan} ^ {- 1} u \ right] \ bigg | _s ^ \ infty \\\\ & = \ frac {\ pi} {2} - \ operatorname {tan} ^ {- 1} s \\ & = \ operatorname {cot} ^ {- 1} s = \ operatorname {tan} ^ {- 1} \ frac {1} {s} \ end {align *} $$
Si no me equivoqué, de todos modos.
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