Derivación de la relación de onda estacionaria de voltaje

Una línea de transmisión introduce dos factores principales que explican el comportamiento específico de la aplicación de la línea de transmisión: atenuación y retardo de fase. Estos factores dominan lo que diferencia a una línea de transmisión del análisis de circuitos agrupados normales. Si bien suelen estar presentes en un circuito concentrado, su efecto es tan mínimo que puede ignorarse. Sin embargo, una vez que las interconexiones se vuelvan más largas que aproximadamente 1/10 de la longitud de onda, los efectos de la línea de transmisión serán medibles y, por lo tanto, deberían incluirse en el análisis.

La constante de atenuación y la constante de fase de una línea de transmisión se expresan como α y β respectivamente. Ambas constantes son dependientes de la frecuencia. Combinados, forman la constante de propagación compleja γ dada como γ = α + jβ. Tanto la atenuación como el retardo de fase aumentan a medida que aumenta la longitud de la línea de transmisión. Al omitir la prueba extensa, podemos decir que este efecto se expresa como el término complejo e ^γl donde l es la longitud de la línea. Dado el voltaje o la corriente del generador de señales, ahora es posible predecir la amplitud y la fase del voltaje y la corriente en cualquier longitud l de una línea de transmisión terminada en su impedancia característica Z _O o más generalmente , la amplitud y la fase de la tensión y la corriente de la onda incidente (inducida por el generador).

Cuando una línea de transmisión no termina en su impedancia característica, se produce un reflejo de parte o toda la energía incidente. Las características de la reflexión incluyen un componente de amplitud y fase. Este término complejo se da como Γ.

La energía reflejada también debe viajar a lo largo de la línea hacia el generador. Como resultado, la onda reflejada se encuentra una vez más con el efecto e ^γl de la constante de propagación compleja, pero viaja en la dirección inversa. Pero recuerde que lo que causó la reflexión también puede haber introducido cierta atenuación (la energía devuelta en comparación con la energía incidente) y el cambio de fase. El efecto combinado es, por lo tanto, γl . Pero esto expresa el efecto combinado en la unión de la línea de transmisión y la impedancia de terminación. Para permitir que este efecto se determine en cualquier punto z a lo largo de la línea, medido desde la impedancia de terminación, debemos tener en cuenta el efecto de la constante de propagación compleja a medida que la energía incidente viaja desde el punto z hacia la impedancia de terminación y nuevamente como la reflexión. La energía vuelve al punto z. Como la distancia real recorrida es 2z, llegamos a la fórmula Γe ^γ2z para expresar la magnitud de la onda reflejada en el punto z. Por convención, la corriente reflejada se expresa como un término negativo para indicar su dirección de viaje.

Por lo tanto, para determinar el voltaje o la corriente en cualquier punto z a lo largo de la línea de transmisión, simplemente debe agregar los términos incidentes y reflejados en la posición z a lo largo de la línea para llegar al resultado deseado. Esto también se define como la amplitud de la onda estacionaria en la posición z. También es posible calcular la impedancia en el punto z, ya que la amplitud relativa o absoluta y la fase de la tensión y la corriente se calculan fácilmente.

Si divides por \ $ e ^ {- jBz} \ $ obtienes \ $ 1 - e ^ {2jBz} \ $. Ese es el punto uno.

El punto dos es la ecuación de Eulers donde \ $ e ^ {j π} = -1 \ $. También recuerde, en la segunda ecuación estamos hablando de \ $ | V_o | \ $ es decir, magnitud.

Dado que es una posición de pie / onda /, la amplitud varía con la posición. Si tuviera la misma amplitud en todas partes, no sería un / wave /. La ola sucede porque manejas el sistema con una sinusoide. La onda / reposa / porque las ondas incidentes y reflejadas están "viajando" en direcciones opuestas.