Circuito de CA con resistencias y condensadores en serie y en paralelo

¡Gracias por la ayuda!

Divisores de tensión:

(1) $$ \ frac {1} {Z_1} = \ frac {1} {Z_C} + \ frac {1} {R} \ Leftrightarrow Z_1 = \ frac {R \ cdot Z_C} {R + Z_C} $$

$$ \ frac {V_A} {E} = \ frac {R} {Z_1 + R} = \ frac {R} {\ frac {R \ cdot Z_C} {R + Z_C} + R} = \ frac {R} {\ frac {R \ cdot Z_C + R (R + Z_C)} {R + Z_C}} = \ frac {R (R + Z_C)} {R (R + 2Z_C)} = \ frac {R + Z_C} {R + 2Z_C} $$

(1) $$ \ frac {V_B} {E} = \ frac {2R} {(R + Z_C) + 2R} = \ frac {2R} {3R + Z_C} $$

$$ V_ {AB} = 0 \ Leftrightarrow V_A = V_B $$

$$ \ frac {R + Z_C} {R + 2Z_C} = \ frac {2R} {3R + Z_C} $$

$$ (R + Z_C) (3R + Z_C) = 2R (R + 2Z_C) $$

$$ 3R ^ 2 + 4RZ_C + Z_C ^ 2 = 2R ^ 2 + 4RZ_C $$

$$ R ^ 2 = -Z_C ^ 2 $$

\ $ Z_C = \ frac {1} {j \ omega C} \ Rightarrow \ $

$$ R ^ 2 = - \ left (\ frac {1} {j \ omega C} \ right) ^ 2 = \ frac {- (- 1)} {(\ omega C) ^ 2} = \ frac {1} {(\ omega C) ^ 2} $$

$$ R = \ frac {1} {\ omega C} $$

$$ \ omega = \ frac {1} {RC} $$

\ $ \ omega C = 2 \ pi f \ Rightarrow \ $

$$ f = \ frac {1} {2 \ pi RC} = \ frac {1} {2 \ pi \ cdot 10 ^ 3 \ cdot 10 ^ {- 6}} \; Hz = \ frac {500} {\ pi} \; Hz \ approx 160 \; Hz $$

No trates de calcular ninguna corriente. El circuito se configura como 2 divisores de tensión. Calcule el voltaje en A usando las fórmulas usuales para la impedancia de un capacitor y un divisor de voltaje. Luego calcula el voltaje en B usando las mismas fórmulas. Iguala los dos voltajes (ya que si son iguales, no hay potencial entre A y B) y resuelve la frecuencia. La respuesta es muy simple en términos de R y C. Luego sustituye los valores dados de R y C para encontrar la frecuencia real.

Mira con cuidado. Los voltajes \ $ U_a \ $ y \ $ U_b \ $ son los mismos si

$$ 2 \ cdot (X_C || R) = X_C + R $$

$$ 2 \ cdot \ frac {X_C \ cdot R} {X_C + R} = X_C + R $$

$$ 2 X_C R = (X_C + R) ^ 2 $$

$$ 2 X_C R = X_C ^ 2 + 2 X_C R + R ^ 2 $$

$$ 0 = X_C ^ 2 + R ^ 2 $$

$$ - X_C ^ 2 = R ^ 2 $$

Con \ $ X_C = - \ frac {1} {j \ omega C} \ $

$$ - (- \ frac {1} {j \ omega C}) \ cdot (- \ frac {1} {j \ omega C}) = R ^ 2 $$

$$ - ((- \ frac {1} {j}) ^ 2) \ cdot (\ frac {1} {\ omega C}) ^ 2 = R ^ 2 $$

$$ - (j ^ 2) \ cdot (\ frac {1} {\ omega C}) ^ 2 = R ^ 2 $$

$$ 1 \ cdot (\ frac {1} {\ omega C}) ^ 2 = R ^ 2 $$

$$ \ frac {1} {\ omega C} = R $$

A menudo es más fácil mantener \ $ X_C \ $ y \ $ X_L \ $ en las fórmulas el mayor tiempo posible.

^{simular este circuito : esquema creado usando CircuitLab}

Sabemos que $$ Z_ {C} (f) = \ frac {1} {2 \ pi fC} = \ frac {1} {2 \ pi f \ cdot 0.000001} $$

Entonces, lo único que queda por hacer es encontrar las posibles soluciones de: $$ \ frac {R} {(Z_C (f) \ paralelo R) + R} = \ frac {2R} {R + Z_C (f)} $$

Cuando ambas "ramas" se parecerán a cierta frecuencia \ $ f_ {respuesta} \ $, entonces A y B se mantendrán en la misma proporción de \ $ V_1 (t) \ $ y, por lo tanto, tendrán la mismo potencial eléctrico.

No hay necesidad de calcular corrientes, ya que para una fuente de voltaje de CA de frecuencia fija , los condensadores solo "parecen" una impedancia cuando está interesado en el voltaje . Si estuviera interesado en la versión actual, deberá calcular las fases.

Si la fuente fuera una fuente actual, se revertiría. Las corrientes serían "fáciles" de calcular pero necesitaría tener en cuenta las fases para calcular los voltajes.