física detrás de la adaptación de impedancia realizada en este caso

Veré si puedo encontrar la derivación completa, pero hay una parte en el artículo de wikipedia para los transformadores de cuarto de onda: enlace . Todo se reduce a que cuando tienes una sección de la línea de transmisión de un cuarto de onda con una impedancia característica \ $ Z_0 \ $ terminada en una carga de \ $ Z_L \ $, la siguiente relación es válida:

$$ \ frac {Z_ {in}} {Z_0} = \ frac {Z_0} {Z_L} $$

Si resuelves eso para \ $ Z_0 \ $, obtienes \ $ Z_0 = \ sqrt {Z_ {in} Z_L} \ $. Si desea hacer coincidir una impedancia de fuente particular, simplemente configure \ $ Z_ {in} \ $ a la impedancia de fuente deseada.

En cuanto a por qué es así, tiene que ver con el hecho de que la línea es 1/4 de una longitud de onda, por lo que una reflexión fuera del extremo lejano se alineará con una reflexión del extremo cercano, solo invertida debido a la 180 cambio de fase de grado. Esto tiene el efecto de hacer que la impedancia de la carga parezca más grande o más pequeña, dependiendo de la relación de la impedancia de la línea de cuarto de onda y la carga.

En general, la impedancia de una línea de transmisión es: -

Yestosignificaquelaimpedanciadeentradadependedelalongituddelalíneaydelacarga.Aquíhayunejemplocuandolalíneaestáabiertaenunextremo:-

Comenzandoenelextremoderecho,lalíneaesdelongitudceroyestárepresentadaporuncircuitosintonizadoenparaleloqueofreceunaimpedanciainfinita.Amedidaquelalíneasealargaauncuartodeonda,laimpedanciacambiaauncortocircuitorepresentadoporLyCenserie.Alamitaddeunaonda,lalíneasecomportacomosifueraunalongitudcero.

Paraunalíneaencorto,obtienesesto:-

Imágenes desde aquí .

Así que hay mucha profundidad oculta en la fórmula en la parte superior de esta respuesta y para ser específico acerca de una línea de transmisión en un cuarto de longitud de onda, \ $ \ tan (\ beta \ ell) \ $ se convierte en infinito y la ecuación se convierte en: -

$$ Z_ {IN} = Z_0 \ left (\ dfrac {Z_0} {Z_L} \ right) $$

O

$$ Z_0 = \ sqrt {Z_L Z_ {IN}} $$

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