La tensión en el condensador está dada por
$$ V_c = \ dfrac {1} {C} \ int i (t) dt $$
y la actual es
$$ i (t) = 0.4 \ sin (2t- \ frac {\ pi} {4}) u (t) $$
cuando u (t) es la función de pasos unitarios. ¿Puede mostrar cómo integrar la expresión, cómo encontrar V, cómo considerar la función de paso mientras se integra?
Lo primero a tener en cuenta es que la función de paso se define como
$$ u (t) = \ left. \ begin {cases} 0 & t < 0 \\ 1 & t > 0 \\ \ end {cases} \ right \} $$
entonces
$$ V_c = \ frac {1} {C} \ int _ {- \ infty} ^ {t_f} i (t) dt $$
$$ V_c = \ frac {1} {C} \ int _ {- \ infty} ^ {0} 0.4 \ sin (2t - \ frac {\ pi} {4}) u (t) dt + \ frac {1} {C } \ int_0 ^ {t_f} 0.4 \ sin (2t - \ frac {\ pi} {4}) u (t) dt $$
$$ V_c = \ frac {0.4} {C} \ int_0 ^ {t_f} \ sin (2t - \ frac {\ pi} {4}) dt $$
Entonces, toda la función de paso hace que todos los valores de t que son menos de cero sean cero.
Luego continúas calculando la integral de la forma normal, por lo que:
$$ V_c = \ frac {0.4} {C} \ left [\ frac {1} {2} \ cos (2t - \ frac {\ pi} {4}) \ right] _0 ^ {t_f} $$
Primero, escribe tu primera ecuación más correctamente como tal
$$ v_C (t) = \ frac {1} {C} \ int _ {- \ infty} ^ t i_C (\ tau) \, d \ tau $$
Ahora, debido a la presencia del paso de unidad, tenemos
$$ v_C (t) = \ frac {1} {C} \ int _ {- \ infty} ^ t 0.4 \ sin (2 \ tau- \ frac {\ pi} {4}) u (\ tau) \, d \ tau = \ frac {1} {C} \ int_0 ^ t 0.4 \ sin (2 \ tau- \ frac {\ pi} {4}) \, d \ tau $$
En otras palabras, el paso unitario en el integrand tiene el efecto de cambiar el límite inferior de integración a \ $ \ tau = 0 \ $.
La función de paso simplemente le permite comenzar a integrar en \ $ t = 0 \ $ y saber que \ $ V_c = 0, \ t \ leq 0 \ $.
La integral en sí misma ahora debe resolverse directamente usando la función primitiva y la derivada interna.
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