¿Por qué considerar los sistemas lineales invariantes en el tiempo?

  

hay una razón más convincente para considerar un sistema como LTI mientras   ¿Mirando problemas en este campo?

Lo que hace atractivo el análisis de los sistemas LTI son los siguientes:

Linearity:

• Si \ $ y_1 (t) \ $ es la salida debida a la entrada \ $ x_1 (t) \ $ y
• \ $ y_2 (t) \ $ es la salida debida a la entrada \ $ x_2 (t) \ $ y luego
• \ $ y = ay_1 (t) + by_2 (t) \ $ es la salida debida a la entrada \ $ x = ax_1 (t) +    bx_2 (t) \ $.

Invarianza de tiempo (o turno):

• Si \ $ h (t) \ $ es la salida debida a la entrada \ $ \ delta (t) \ $, entonces

• \ $ h (t - \ tau) \ $ es la salida debida a la entrada \ $ \ delta (t - \ tau) \ $.

  Luego, llamamos a \ $ h (t) \ $ la respuesta de impulso del sistema.

Si y solo si lo anterior es cierto para un sistema, tenemos:

\ $ y (t) = h (t) * x (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} h (t- \ tau) x (\ tau) d \ tau \ $

y

\ $ Y (s) = H (s) X (s) \ $

Ahora, ningún sistema LTI real es realmente LTI pero es eficaz , por lo que podemos usar los "trucos" anteriores para analizarlos.

Mezclas dos parámetros independientes del sistema: linealidad e invariancia de tiempo.

Los sistemas lineales son los que tienen una relación lineal entre las salidas y las entradas. En términos matemáticos, el sistema es lineal si para cada vector de entrada \ $ \ bar {x} \ $ el vector de salida \ $ \ bar {y} \ $ viene dado por:

$$ \ bar {y} = A \ bar {x} $$

donde A es una matriz que representa una transformación lineal.

Los sistemas lineales son los más interesantes porque la mayoría de los sistemas son lineales o pueden ser aproximados por sistemas lineales.

Además, cualquier sistema no lineal puede ser aproximado por ecuación lineal en cualquier punto. Al integrar numéricamente estas ecuaciones lineales sobre puntos consecutivos, puede resolver la ecuación no lineal inicial (aunque con algún error).

Por lo tanto, la importancia de los sistemas lineales surge del hecho de que sabemos cómo tratarlos matemáticamente y computacionalmente, y que cualquier sistema puede analizarse en un marco de sistemas lineales.

La invariancia de tiempo solo indica que los parámetros del sistema en sí no cambian con el tiempo. Las entradas y las salidas pueden cambiar, pero el sistema es el mismo durante el período de interés.

Si el sistema no es invariante en el tiempo, puede ser:

• Particionado en períodos de tiempo no superpuestos durante los cuales el sistema es invariante en el tiempo
• Aproximado por sistemas invariantes en el tiempo durante cortos períodos de tiempo. La integración de estas aproximaciones proporcionará una solución aproximada del sistema inicialmente variable en el tiempo.

En resumen:

La teoría de sistemas LTI es la más fundamental en el análisis de señales y se aplica a un espectro de problemas mucho más amplio que podría haber estado adivinando inicialmente (incluso no lineal y variable en el tiempo).

Principalmente porque la mayoría de los sistemas son invariantes en el tiempo, y suponer que la invariabilidad en el tiempo generalmente hace que la resolución de problemas sea mucho más sencilla. Tan pronto como desechas la linealidad y / o la invariancia del tiempo, las cosas pueden complicarse mucho.

Las señales no son lineales invariantes en el tiempo. (Una señal "lineal" invariante en el tiempo podría ser una constante, un caso particular de señal inútil que no transmite ninguna información).

Consideramos sistemas invariantes en el tiempo lineal en el procesamiento de señales, pero también hay sistemas no lineales en muchos puntos de la ruta de la señal: mezcladores, muestreadores, limitadores, compresores ...

Por cierto, es cierto que parece que lo lineal es importante. En mi grado hay cursos con "sistemas lineales" en el título, pero no hay ninguno llamado "sistemas no lineales". Quizás esto se deba a que cada sistema no lineal debe estudiarse por separado, pero puede estudiar cada sistema lineal utilizando el mismo conjunto de herramientas.

Incluso te dicen que los sistemas no lineales son malos, porque los sistemas reales se modelan como sistemas lineales ideales con algunos efectos no lineales (malos). Pero son esenciales (los sistemas, no los efectos indeseables).