Respuesta de estado estable y función de transferencia

No del todo, \ $ H (s) X (s) \ $ es la respuesta a la señal \ $ X (s) \ $ si el sistema está inicialmente en reposo, es decir, con condiciones iniciales "cero".

Puedes entender esto de la siguiente manera. Un sistema LTI se puede describir en el dominio del tiempo mediante una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes como los siguientes:

\ $ a_ny ^ {(n)} (t) + a_ {n-1} y ^ {(n-1)} (t) + \ dots + a_1y ^ {(1)} (t) + a_0y (t) = b_mx ^ {(m)} (t) + b_ {m-1} x ^ {(m-1)} (t) + \ dots + b_1x ^ {(1)} (t) + b_0x (t) \ $

Teniendo en cuenta la propiedad de diferenciación de la transformada de Laplace de un lado:

\ $ L \ {D [q (t)] \} = sQ (s) - q (0 ^ -) \ qquad \ qquad \ text {where} ~~ Q (s) = L \ {q ( t) \} \ $

puede tomar la L-transformada de ambos miembros de la ecuación diferencial y obtener la siguiente ecuación en el dominio s:

\ $ a_ns ^ nY (s) + a_ {n-1} s ^ {(n-1)} Y (s) + \ dots + a_1sY (s) + a_0Y (s) + R (s) = b_ms ^ mX (s) + b_ {m-1} s ^ {(m-1)} X (s) + \ dots + b_1sX (s) + b_0X (s) + K (s) \ $

Donde \ $ R (s) \ $ es una expresión polinomial en \ $ s \ $ donde los coeficientes son combinaciones de los derivados de \ $ y \ $ computados en \ $ 0 ^ - \ $ (este término proviene de \ $ q (0 ^ -) \ $ en la propiedad de diferenciación). Análogamente, \ $ K (s) \ $ es un polinomio cuyos coeficientes son combinaciones de \ $ x \ $ computados en \ $ 0 ^ - \ $.

Si elimina \ $ X (s) \ $ y \ $ Y (s) \ $ en la ecuación transformada y luego aísla \ $ Y \ $, obtendrá lo siguiente, que es una expresión para toda la respuesta ( estado cero + entrada cero):

\ $ Y (s) = \ dfrac {b_ms ^ m + b_ {m-1} s ^ {m-1} + \ dots + b_0} {a_ns ^ n + a_ {n-1} s ^ {n-1} + \ dots + a_0} X (s) + \ dfrac {K (s) -R (s)} {a_ns ^ n + a_ {n-1} s ^ {n-1} + \ dots + a_0} \ $

El primer término es \ $ H (s) X (s) \ $ y le da la respuesta completa del sistema cuando está excitado por \ $ x (t) \ $ cuando su estado inicial es "cero" ( es decir, sin energía almacenada en mayúsculas e inductores, si estamos hablando de circuitos eléctricos), el otro término representa la parte de la respuesta transitoria debida a la energía almacenada en el sistema en el momento 0.

Tenga en cuenta que este último depende de los valores en \ $ 0 ^ - \ $ de y, x y sus derivados. Desde un circuito POV, estos valores están relacionados con las condiciones iniciales del circuito: corrientes en inductores y voltajes a través de las tapas.

Tome como ejemplo sencillo un circuito RC como el siguiente:

de la ley KVL y de Ohm tenemos:

\ $ v (t) = R i (t) + v_c (t) \ $

pero la relación v-i para el condensador nos dice que

\ $ i (t) = C \ dfrac {dv_c (t)} {dt} \ $

Por lo tanto, tenemos la siguiente ecuación diferencial para el circuito:

\ $ v (t) = R C \ dfrac {dv_c (t)} {dt} + v_c (t) \ $

Donde \ $ v \ $ es la excitación (x) y \ $ v_c \ $ es la respuesta desconocida (y). Si ahora aplicamos la transformada L a ambos lados obtenemos:

\ $ V (s) = RC \ left [sV_c (s) - v_c (0 ^ -) \ right] + V_c (s) = (RC s + 1) V_c (s) - RC v_c (0- ) \ $

que, después de pasajes simples, se convierte en:

\ $ V_c (s) = \ dfrac {1} {R C s + 1} V (s) + \ dfrac {RC v_c (0 ^ -)} {R C s + 1} \ $

Si el sistema es estable, entonces Y (s) = H (s) X (s) se pueden usar en todo momento. Esto significa que si conoce la función de transferencia del sistema subyacente, entonces para una entrada determinada puede calcular una salida simulada del sistema. En el ejemplo que usaste, la razón por la que obtienes la respuesta de estado estable de esa manera es porque la magnitud de la función de transferencia H (s) se define como la ganancia del sistema.