Lo intento por el largo camino para dar una prueba de su respuesta simplificada y desde el primer paso para asegurarme de que todos sepan de qué estamos hablando (y de tener mucho cuidado con los signos).
Problema:
$$ \ int _ {- 1} ^ 1te ^ {- jn \ pi \ t} \ dt =? =? = \ frac {e ^ {jn \ pi \} + e ^ {- jn \ pi \}} {- jn \ pi \} $$
Hagámoslo con la integración por partes. La plantilla:
$$ \ int _ {- a} ^ bf '(x) g (x) dx = f (b) g (b) -f (a) g (a) - \ int_ {a} ^ bf (x ) g '(x) dx $$
Elegimos las siguientes sustituciones:
$$ f '(x) = e ^ {- jn \ pi \ t} $$ que se integra a
$$ f (x) = - \ frac {e ^ {- jn \ pi \ t}} {jn \ pi \ t} $$
y
$$ g (x) = t $$
derivado: $$ g '(x) = 1 $$
Siguiente paso, complete, lo que lleva a:
$$ - \ frac {e ^ {- jn \ pi \}} {jn \ pi \} (1) - \ frac {e ^ {jn \ pi \}} {jn \ pi \} (1) - \ int_ {a} ^ b- \ frac {e ^ {- jn \ pi \ t}} {jn \ pi \ t} (1) dt $$
(los primeros dos (1) son los valores para los límites superior e inferior de la integral, el tercero (1) es la derivada g '(x), de $$ g (x) $$, que es 1)
que, si se disuelve más, lleva a (considerar los signos de los límites)
$$ - \ frac {e ^ {- jn \ pi \}} {jn \ pi \} - \ frac {e ^ {jn \ pi \}} {jn \ pi \} - (- \ frac { e ^ {jn \ pi \}} {jn \ pi \} - \ frac {e ^ {jn \ pi \}} {- jn \ pi \}) $$
y, solo resolviendo el término entre llaves (¿cómo podemos borrar los términos?):
$$ - \ frac {e ^ {- jn \ pi \}} {jn \ pi \} - \ frac {e ^ {jn \ pi \}} {jn \ pi \} + \ frac {e ^ {jn \ pi \}} {jn \ pi \} - \ frac {e ^ {jn \ pi \}} {jn \ pi \} $$
que lleva al final a:
$$ \ frac {e ^ {jn \ pi \} + e ^ {- jn \ pi \}} {- jn \ pi \} $$
que es la prueba para su suposición.
saludos