\ $ H (s) \ $ es la función de transferencia y estamos buscando su ganancia de magnitud. Pasé del dominio de Laplace al dominio de frecuencia reemplazando \ $ s \ $ con \ $ j \ omega \ $. Sin embargo, la solución no coincide con lo que hice.
Miraron los polos y los ceros. Por favor explícame su proceso. Gracias.
La función de transferencia que se muestra en la expresión que dio debe reescribirse para que se ajuste al formato de baja entropía . Este formato, descrito por la técnica de circuitos analíticos rápidos o FACTs , le permitirá obtener una visión inmediata de lo que hace la expresión . Aquí, tu expresión original es:
\ $ H (s) = 200 \ frac {s + 2} {s (s + 20)} \ $
Vuelva a escribirlo factorizando 2 y 20 respectivamente en el numerador \ $ N (s) \ $ y el denominador \ $ D (s) \ $:
\ $ H (s) = \ frac {200 \ times 2} {20} \ frac {1+ \ frac {s} {2}} {s (1+ \ frac {s} {20})} = 20 \ frac {1+ \ frac {s} {2}} {s (1+ \ frac {s} {20})} \ $ que es la expresión dada como respuesta. Esta expresión se puede volver a escribir en una forma ventajosa como \ $ H (s) = 20 \ frac {1+ \ frac {s} {\ omega_z}} {s (1+ \ frac {s} {\ omega_p}) } \ $ en el que \ $ \ omega_z = 2 \; rad / s \ $ que es 318 mHz y \ $ \ omega_p = 20 \; rad / s \ $ que corresponde a \ $ \ approx \ $ 3.2 Hz.
El problema que tengo con esta notación es que el término principal, 20, tiene la dimensión de Hz y llamarlo ganancia es impropio para mí. Además, no tiene ningún significado físico: esta función de transferencia presenta un par polo-cero asociado con un polo en el origen. El coeficiente de \ $ s \ $ en el denominador es \ $ \ frac {1} {20} \ $ y tiene una dimensión de tiempo. Para construir la función de transferencia final, simplemente multiplique el polo en el origen afectado por su coeficiente y el par polo-cero como se muestra en el siguiente gráfico:
Ustedvelarespuestadelintegradorquesecruzaa3,2Hzylarespuestadelparpolo-ceroque"aumenta" la fase entre el cero y el polo. ¿Cuál es el significado de la "ganancia" de 26 dB dada en la respuesta formulada? Ninguno en mi opinión. En realidad, mire abajo el resultado cuando combine ambas respuestas:
Puedeverloquesedenominauncompensador"tipo 2" usado en el sistema de control para aumentar la fase en la frecuencia de cruce seleccionada, por lo general donde la fase alcanza su punto máximo. Lo que importa aquí es la realización de la llamada ganancia de banda media que ocurre alrededor de 1 Hz. Es 10 dB, no 26 como se indica en la corrección. ¿Cómo podemos desvelarlo? Simplemente utilizando lo que se llama un cero invertido: factor \ $ \ frac {s} {2} \ $ en el numerador y simplifique el término principal. Tienes:
\ $ H (s) = 20 \ frac {1+ \ frac {s} {2}} {s (1+ \ frac {s} {20})} = \ frac {20} {s} \ frac {s} {2} \ frac {1+ \ frac {2} {s}} {1+ \ frac {s} {20}} = H_0 \ frac {1+ \ frac {\ omega_z} {s}} {1+ \ frac {s} {\ omega_p}} \ $ donde, esta vez, \ $ H_0 = 10 \ $ o 20 dB y tiene la dimensión de una ganancia. Esta es la ganancia de banda media que aparece a 1 Hz. Es un objetivo de diseño y usted debe diseñar su compensador para a) igualar el aumento de fase requerido en el cruce yb) ajustar la ganancia de la banda media al valor correcto. ¿Cómo puedes hacer eso fácilmente con la respuesta dada? Esta respuesta es matemáticamente correcta pero proporciona una visión 0 sobre las características del compensador. A continuación se muestra el archivo de Mathcad correspondiente.
Kint verbal ha proporcionado una respuesta excelente y completa. Déjame intentar proporcionarte algo que te dé un poco menos de un salto cognitivo.
Dice "estamos buscando su ganancia de magnitud", pero la respuesta esperada es un valor único. Eso demuestra que su profesor no le ha dado todo lo que necesita para responder a esta pregunta y, en cambio, espera que siga un proceso específico que ya enseñó.
De hecho, la "ganancia de magnitud" es una función de la frecuencia. Es decir, la respuesta correcta sería la magnitud de la función de transferencia: \ $ \ sqrt {Re (H) ^ 2 + Im (H) ^ 2} \ $ que si tuviera que evaluar sería una expresión que contenía frecuencia, \ $ \ omega \ $.
Dejando de lado eso, la siguiente pregunta más probable es "cuál es la ganancia de magnitud en DC ". Este valor de ganancia en particular es tan importante que podría ser excusable que se haya descuidado la parte "en DC".
Lamentablemente, esto también conduce a un problema: la función de transferencia tiene dos polos (s) y (s+20) , uno de los cuales (s) es un polo en cero. Tener un polo en cero significa que en realidad hay una ganancia infinita en DC. Claramente, esto, de nuevo, no es la respuesta que busca el profesor.
Finalmente, vemos por la respuesta que el profesor realmente quería el coeficiente de ganancia cuando la función de transferencia se expresa con factores en términos de frecuencias naturales de raíz . Hay un par de cosas a tener en cuenta aquí:
Volviendo a su pregunta, la razón por la que observaron los polos y los ceros es porque estaban interesados en las características principales de la función de transferencia cuando se expresan con factores en términos de frecuencias naturales de raíz . Esas características principales se pueden leer directamente desde la expresión: los polos, los ceros y los llamados "ganancia".
La forma en que lo entendí es que cuando obtienes un factor de, digamos (s + 2) o (s + 20) divides la constante.
es decir: (s + 2) = 2 (s / 2 + 1), (s + 20) = 20 (s / 20 + 1)
Aquí hay un paso intermedio en tu ejemplo para dar más sentido a cómo encontrar la ganancia.
H (s) = (200 * 2 (s / 2 +1)) / (s * 20 (s / 20 + 1)).
Aquí sustituí (s + 2) = 2 (s / 2 + 1), y (s + 20) = 20 (s / 20 + 1)
Luego puedes tomar el factor al frente y eso es la ganancia.
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