Una pregunta básica sobre la relación de corriente de voltaje para un inductor

El comentario de Eugene es una declaración compacta de cómo estaba pensando cuando leí tu pregunta. Su escritura "canta" en mi mente como una melodía que conozco bien. Pero probablemente podría necesitar alguna explicación para ti.

Quizás es más simple comenzar con esta simple declaración en álgebra:

$$ I_L = \ frac {V_L} {L} \ cdot t $$

Lo anterior supondría que al comienzo del período de tiempo la corriente en el inductor era cero. También supone que o bien \ $ V_L \ $ es una constante, o que es el valor promedio efectivo si varía de alguna manera durante el período de tiempo indicado. Pero creo que puedes ver que esta afirmación afirma firmemente que requiere tiempo. El tiempo cero significaría cero corriente, aquí. Así que en su raíz se puede ver que lleva tiempo. Pero esto no trata la pregunta que hace, que se trata de cambios "repentinos". Aquí es donde el cálculo (que no es más que el álgebra, se modifica para agregar un nuevo tipo de variable especial que solo puede contener valores infinitamente pequeños, pero aún no cero: esas variables especiales anotadas al colocar \ $ \ textrm {d} \ $ delante de ellos.)

La expresión anterior se escribe más exactamente de esta manera (todavía hay formas más exactas de escribirla, que evitaré aquí):

$$ \ textrm {d} I_L = \ frac {V_ {L}} {L} \ cdot \ textrm {d} t $$

sigue siendo el mismo que antes, excepto que he reemplazado la variable finita \ $ t \ $, que solo puede contener valores finitos, con la variable infinitesimal \ $ \ textrm {d} t \ $, que solo puede Mantenga valores infinitesimales pero no cero. (Obviamente, el factor \ $ \ frac {V_L} {L} \ $ sigue siendo una relación de valores finitos). El producto de una relación finita, multiplicado por un valor infinitesimalmente pequeño, debe ser infinitamente pequeño. Así que el lado izquierdo refleja este hecho al reemplazar la variable finita anterior con su equivalente infinitesimal.

Pero veamos esta última ecuación, ahora. ¿Qué dice ? Dice que para realizar incluso el cambio más pequeño, más infinitamente pequeño en la corriente del inductor, debe aplicar un voltaje distinto de cero durante al menos un período de tiempo infinitamente pequeño.

En resumen, lleva tiempo (y un voltaje aplicado que no sea cero) hacer un cambio en la corriente. Ni siquiera necesito la integral para decirlo.

Entonces, ¿por qué se agrega la integral? Porque los valores infinitesimalmente pequeños son bastante inútiles para los ingenieros que hacen cosas. Necesitan valores finitos, no infinitamente pequeños. Entonces, ¿cuántos de estos pequeños valores son necesarios para hacer un valor finito? Un número infinito de ellos, por supuesto. Así se inventó el signo integral especial.

Teniendo en cuenta que cualquier cosa que hagas a un lado de una ecuación también debes hacerlo al otro lado:

$$ \ begin {align *} \ textrm {d} I_L & = \ frac {V_ {L}} {L} \ cdot \ textrm {d} t \\\\ \ int \ textrm {d} I_L & = \ int \ frac {V_ {L}} {L} \ cdot \ textrm {d} t \\\\ I_L & = \ int \ frac {V_ {L}} {L} \ cdot \ textrm {d} t \ end {align *} $$

El último paso, mirando el cambio del lado izquierdo, es verdadero porque si sumas un número infinito de piezas infinitamente pequeñas de X, obtienes X. Obviamente. Si divide algo en un número infinito de bits diminutos, entonces pegar todos esos bits nuevamente debe ser lo que originalmente comenzó con. Así que este último paso es un "no brainer" en el cálculo.

Dado que \ $ L \ $ a menudo se toma como constante, entonces debería ser obvio que puedo tratar \ $ \ frac {V_ {L_1}} {L} \ cdot \ textrm {d} t + \ frac {V_ { L_2}} {L} \ cdot \ textrm {d} t + \ frac {V_ {L_3}} {L} \ cdot \ textrm {d} t + ... \ $ extrayendo el \ $ \ frac {1} {L } \ $ parte y realizando la suma sin ella, primero, aplicando esa fracción más adelante. Entonces:

$$ \ begin {align *} I_L & = \ frac {1} {L} \ int V_ {L} \ cdot \ textrm {d} t \ end {align *} $$

Una persona familiarizada con el cálculo verá lo anterior inmediatamente como lo mismo que:

$$ \ textrm {d} I_L = \ frac {V_ {L}} {L} \ cdot \ textrm {d} t $$

Entonces, cuando el escritor escribió como lo hizo, vieron el núcleo con el que comencé arriba, que es que para hacer un cambio en la corriente debes hacer un cambio en el tiempo. Así que "toma tiempo para que la corriente cambie". Entonces, desde la integral, el diferencial sigue obviamente, y desde el diferencial sigue la conclusión. Así es como uno llega desde aquí, supongo.

Has preguntado:

  

¿Qué tiene eso que ver con la integración que el cambio repentino no es?   posible?

Entonces, en un sentido muy significativo, no tiene nada que ver con la integración. En cambio, tiene que ver con la ecuación diferencial que se obtiene cuando se le quita mentalmente la integral.

Lamento haber elaborado tanto sobre esto. Pero quiero señalar que hay un proceso de pensamiento que realmente necesitas para luchar contigo mismo para adquirirlo. Es crucial, ya que influye en su capacidad de "ver". Eres ciego antes y tienes visión después. Es mucho de "día y noche". Y cambia la forma en que ves todo lo que te rodea.

  

¿Por qué se necesitaría un voltaje infinito para un cambio repentino?

'De repente' significa que T es muy muy pequeño, casi cero. Por lo tanto, la única forma de producir un valor finito de integral es obtener una 'v' muy grande (casi infinita).

Del mismo modo que una corriente de paso (apagado) de la corriente del inductor provoca un voltaje de impulso, lo mismo ocurre a la inversa ...

• Un pulso V limitado a la velocidad de giro dará como resultado una corriente de paso limitada a la velocidad de giro de acuerdo con la integral.

• Por lo tanto, una corriente de paso con 0 tiempo de subida es imposible. (esto supone que entiendes el cálculo básico y la definición de un impulso infinito).

Aquí hay una función (el delta de Dirac) ajustada en tiempos cada vez más pequeños. Todas las variaciones se integran en 1. El gráfico se ha extraído y hay más información disponible en Wikipedia .

El área debajo de cada una de las curvas debe ser 1.0, por lo tanto, a medida que el tiempo se hace más y más pequeño, la altura de la curva debe ser cada vez más alta.

Integradas, cada una de las curvas tendrá un paso de +1.0 desde el valor inicial (quizás cero), por lo que representa la cantidad de voltaje que tendría que aplicar para obtener un inductor 1H ideal para conducir 1A durante un período determinado de hora.

Un inductor ideal continuaría conduciendo la misma corriente después de que el voltaje vuelva a cero, pero los inductores reales (temperatura ambiente) tienen cierta resistencia, por lo que la corriente cae rápidamente a cero cuando los cortas.