Comience de la siguiente manera:
$$ \ begin {align *}
\ overline {b} \: \ overline {d} + b \: d \: \ overline {c} + b \: d \: \ overline {a} \ tag {1} \\\\
\ overline {\ overline {\ overline {b} \: \ overline {d} + b \: d \: \ overline {c} + b \: d \: \ overline {a}}} \ tag {2} \ \\\
\ overline {\ overline {\ overline {b} \: \ overline {d}} \ cdot \ overline {b \: d \: \ overline {c}} \ cdot \ overline {b \: d \: \ overline { a}}} \ tag {3} \\\\
\ overline {(b + d) \ cdot (\ overline {b} + \ overline {d} + c) \ cdot (\ overline {b} + \ overline {d} + a)} \ tag {4} \\ \\
\ overline {(b \: \ overline {b} + b \: \ overline {d} + b \: c + d \: \ overline {b} + d \: \ overline {d} + d \: c) \ cdot (\ overline {b} + \ overline {d} + a)} \ tag {5} \\\\
\ overline {(b \: \ overline {d} + b \: c + d \: \ overline {b} + d \: c) \ cdot (\ overline {b} + \ overline {d} + a)} \ tag {6} \\\\
\ overline {\ overline {b} \: d + \ overline {b} \: d \: c + b \: \ overline {d} + \ overline {d} \: b \: c + a \: b \: \ overline {d} + a \: b \: c + a \: d \: \ overline {b} + a \: d \: c} \ tag {7} \\\\
\ overline {\ overline {b} \: d + b \: \ overline {d} + c (\ overline {b} \: d + \ overline {d} \: b) + a (b \: \ overline {d } + d \: \ overline {b} + b \: c + d \: c)} \ tag {8} \\\\
\ overline {\ overline {b} \: d + b \: \ overline {d} + a \: c (b + d)} \ tag {9}
\ end {align *} $$
NOTA
El último, pasando de (8) a (9) arriba, puede manejarse de varias maneras. En lugar de analizar las cosas con el álgebra, solo lo explicaré con palabras.
Es bastante fácil ver que si \ $ \ overline {b} \: d + b \: \ overline {d} \ $ es verdadero o falso, entonces \ $ c (\ overline {b} \: d + \ overline {d} \: b) \ $ es irrelevante. Si \ $ c \ $ es falso, entonces el término anterior \ $ \ overline {b} \: d + b \: \ overline {d} \ $ todavía se anula. Y si \ $ c \ $ es verdadero, todo lo que hace es permitir que el factor adicional \ $ \ overline {b} \: d + b \: \ overline {d} \ $ se exprese. Pero ya lo ha hecho. Entonces \ $ c (\ overline {b} \: d + \ overline {d} \: b) \ $ es completamente redundante. Se puede quitar. Podría escribir esto algebraicamente, agregando condiciones opuestas y luego simplificando, pero creo que estas palabras son suficientes para transmitir el punto.
Un argumento similar también dice que los mismos términos, \ $ \ overline {b} \: d + b \: \ overline {d} \ $, que están dentro de \ $ a (b \: \ overline {d } + d \: \ overline {b} + b \: c + d \: c) \ $ son igualmente inútiles y se pueden eliminar, reduciéndolos muy bien.
En este punto, hay dos declaraciones completamente equivalentes en (9) arriba. Puedes elegir cualquiera de ellos:
$$ \ begin {align *}
\ overline {\ overline {b} \: d + b \: \ overline {d} + a \: b \: c} & = \ overline {\ overline {b} \: d + b \: \ overline { d} + a \: c \: d} \ tag {10}
\ end {align *} $$
La razón debería ser obvia. Examine \ $ \ overline {b} \: d + b \: \ overline {d} + a \: c (b + d) \ $. Si \ $ b \ $ es falso y \ $ d \ $ es verdadero, entonces el primer término lo resuelve. Si \ $ b \ $ es verdadero y \ $ d \ $ es falso, entonces el segundo término lo recoge. Entonces, la única manera que importa para el tercer término es cuando \ $ b \ $ o \ $ d \ $ sea verdadero. Pero nada de esto importa a menos que los dos primeros términos sean falsos. Y la única posibilidad restante es que si una de \ $ b \ $ o \ $ d \ $ es verdadera, la otra también debe ser cierta. Así que puedes descuidar a cualquiera de ellos; tu elección. Por lo tanto, (10) debe ser una declaración verdadera.
Así que voy a elegir el lado izquierdo ahora:
$$ \ begin {align *}
\ overline {\ overline {b} \: d + b \: \ overline {d} + a \: b \: c} \ tag {11} \\\\
(b + \ overline {d}) \ cdot (\ overline {b} + d) \ cdot (\ overline {a} + \ overline {b} + \ overline {c}) \ tag {12}
\ end {align *} $$
Pero también podrías haber elegido el lado derecho.
Trabajos de álgebra.
Haga preguntas si tiene alguna información sobre el proceso anterior. Hice algunas cosas que puedes considerar "sutiles" pero que se explican fácilmente.