Tengo la tarea de calcular el ancho de banda de un circuito de tanque que se muestra a continuación. Puedo ver que es esencialmente un RLC paralelo, por lo que sé BW=1/RC
Sin embargo, esa resistencia inductora molesta necesita ser incluida. ¿Hay alguna manera de derivar una R equivalente para Rc y Rl? De lo contrario, tendré que encontrar Q a través de una función de transferencia, ¡que se está ensuciando rápidamente!
Para determinar la impedancia ofrecida por esta red de segundo orden (dos elementos de almacenamiento de energía con variables de estado independientes), tiene dos opciones: el enfoque de fuerza bruta o el más inteligente utilizando las técnicas de circuitos analíticos rápidos o HECHOS .
La fuerza bruta es simplemente escribir \ $ Z (s) = R_C || \ frac {1} {sC_1} || (r_L + sL_2) \ $. Puede expandir esta expresión y factorizarla bajo una forma canónica de aspecto agradable que obedece a \ $ Z (s) = R_0 \ frac {1+ \ frac {s} {\ omega_z}} {1+ \ frac {s} {\ omega_0Q } + (\ frac {s} {\ omega_0}) ^ 2} \ $. Buena suerte al hacerlo porque a) puedes cometer errores al desarrollar la expresión b) terminarás con numerosos términos no ordenados yc) tendrás que inyectar más energía para reorganizar la expresión en la forma canónica que di. ¿Por qué hacer esto al final? Porque debe resaltar lo que le permitirá cumplir su objetivo de diseño: un cierto factor de calidad \ $ Q \ $, un pico óhmico y una frecuencia de sintonización \ $ \ omega_0 \ $. ¡Los HECHOS lo llevarán directamente a este punto final, sin escribir una sola línea de álgebra, solo dibujos!
Para determinar una impedancia, instalamos un generador de prueba: el estímulo - \ $ I_T \ $ generando una respuesta en sus terminales - la respuesta - \ $ V_T \ $. La impedancia que queremos es \ $ Z (s) = \ frac {V_T} {I_T} \ $.
Primero comenzamos con \ $ s = 0 \ $: cortocircuitamos el inductor y abrimos el condensador como se muestra a continuación. Luego, determine por inspección la resistencia \ $ R_0 \ $ en este modo. Sin una ecuación, verá que esto es \ $ R_C || r_L \ $. Luego, determine las dos constantes de tiempo \ $ \ tau_1 \ $ y \ $ \ tau_2 \ $ como se muestra en los siguientes bosquejos en los que la excitación se ha reducido a 0 A: ¿qué resistencia "ve" desde el almacenamiento de energía seleccionado? Elementos mientras que el segundo está en su estado de CC (inductor en cortocircuito o condensador abierto). Una vez que tenga las constantes de tiempo, forme \ $ b_1 = \ tau_1 + \ tau_2 \ $.
Laúltimaconstantedetiempo\$\tau_{12}\$sedeterminacuandoelcapacitorsereemplazaporuncortocircuitoy"ve" la resistencia de las conexiones de \ $ L_1 \ $: \ $ \ tau_ {12 } = \ frac {L_2} {r_L} \ $. Tenemos \ $ b_2 = \ tau_1 \ tau_ {12} \ $ y podemos formar el denominador como \ $ D (s) = 1 + s (\ tau_1 + \ tau_2) + s ^ 2 \ tau_1 \ tau_ {12} \ $ y póngalo bajo la forma canónica \ $ D (s) = 1 + \ frac {s} {\ omega_0Q} + (\ frac {s} {\ omega_0}) ^ 2 \ $. El cero se obtiene al darse cuenta de que la combinación en serie de \ $ r_L \ $ y \ $ L_2 \ $ forma un cortocircuito transformado que anula la respuesta. El cero se define así como \ $ \ omega_z = \ frac {r_L} {L_2} \ $ y la expresión de impedancia completa es \ $ Z (s) = R_0 \ frac {1+ \ frac {s} {\ omega_z}} {1+ \ frac {s} {\ omega_0Q} + (\ frac {s} {\ omega_0}) ^ 2} \ $.
Sin embargo, esta expresión indica que \ $ r_L \ $ domina a baja frecuencia. Lo que queremos, y lo que necesita, es el pico de la resonancia. Factor \ $ \ frac {s} {\ omega_0Q} \ $ en el denominador y \ $ \ frac {s} {\ omega_z} \ $ en el numerador. Encuentra que el pico está definido como \ $ \ frac {R_0Q \ omega_0} {\ omega_z} \ $. Ya sabes el pico, sabes \ $ Q \ $, te dejo el resto.
Has visto cómo los FACTs podrían llevarte directamente al resultado a través de algunos bocetos, sin una línea de álgebra. Esta es realmente una herramienta que desea dominar si tiene que determinar las funciones de transferencia de cualquier tipo.