Cómo obtener la frecuencia de cruce de una oquasion de Laplace

La frecuencia de cruce, en el contexto de los sistemas de control / señal, se define como la frecuencia en la que la magnitud de la función de transferencia cruza el eje de 0 dB (amplificación = 1). Para el sistema de primer orden colocado en forma estándar como se muestra a continuación

$$ H (s) = \ frac {1} {\ frac {s} {a} +1} $$

la frecuencia de cruce es cero (consulte la figura). Por otra parte, cuando hay una ganancia \ $ K \ $, ese valor se puede determinar como:

$$ H (s) = \ frac {K} {\ frac {s} {a} +1} $$

Para la respuesta en estado estacionario sinusoidal:

$$ H (j \ omega) = \ frac {K} {j \ frac {\ omega} {a} +1} $$ Con magnitud: $$ | H (j \ omega) | = \ frac {K} {\ sqrt {(\ frac {\ omega} {a}) ^ 2 + 1}} $$ Haciendo que la expresión de arriba sea igual a 1 y \ $ \ omega = \ omega_c \ $, donde \ $ \ omega_c \ $ es la frecuencia de cruce: $$ \ omega_c = a \ sqrt {K ^ 2-1} $$

La unidad es radianes / segundo. En Hertz, divide por \ $ 2 \ pi \ $. Esta expresión es válida para \ $ K > 1 \ $. Pero si \ $ K \ $ es muy grande, entonces el resultado puede ser aproximado por $$ \ omega_c \ approx aK $$ en este caso, coincidiendo con la asíntota de alta frecuencia en el diagrama de Bode.