Frecuencias negativas: ¿qué es eso?

La derivación de

\ $ cos (\ omega t) = \ frac {1} {2} \ left (e ^ {j \ omega t} + e ^ {- j \ omega t} \ right) \ $

es muy agradable y así (gracias, Mark), pero no es muy intuitivo.
Un seno se puede presentar en el plano complejo como un vector giratorio:

Puedesvercómoelvectorconstadeunaparterealyotraimaginaria.Peroloquevecuandomiralaseñalensualcanceesunaseñalreal,entonces,¿cómopuededeshacersedelaparteimaginaria,demodoqueelvectorsemantengaenelejex,aumentandoydisminuyendo?Lasoluciónesagregarunaimagendeespejodelvectorgiratorio,girandohacialaderechaenlugardehacialaizquierda.

Las partes imaginarias tienen la misma magnitud, pero signos opuestos, por lo que cuando se agregan ambos vectores, las partes imaginarias se cancelan entre sí, dejando una señal puramente real. Si la rotación en sentido contrario a las agujas del reloj representa una frecuencia positiva, la rotación en el sentido de las agujas del reloj tiene que representar una frecuencia negativa.

No puede en realidad.

Una respuesta completa tomaría un libro de texto completo, pero la respuesta básica es:

En el procesamiento de señales, las señales a menudo se discuten como una suma de sinusoides complejos (\ $ e ^ {j \ omega t} \ $) porque es matemáticamente conveniente.

Esto lleva a la fórmula de Euler:

\ $ e ^ {j \ omega t} = cos (wt) + j \ cdot sin (\ omega t) \ $

Lo que lleva a su inverso:

\ $ cos (\ omega t) = \ frac {1} {2} \ cdot (e ^ {j \ omega t} + e ^ {- j \ omega t}) \ $

Lo que implica que tanto la frecuencia positiva como la negativa están presentes, que es donde aparece en la discusión del procesamiento de señales.

La forma en que lo veo:

Este es un sinusoide complejo (\ $ e ^ {i \ omega t} \ $):

Tambiénsepuededibujardeformamenosintuitivacomoesta(ladoizquierdo),ytieneunespectrodeunacaracomoeste(ladoderecho):

La frecuencia negativa solo significa que la hélice está girando en sentido contrario, y el espectro es una función delta en el lado negativo del eje de frecuencia.

Si agrega una sinusoide compleja de frecuencia positiva con una frecuencia igual pero negativa, las partes imaginarias que giran en sentido contrario se anulan y producen una onda sinusoidal real.

En este caso, no tiene sentido hablar de una onda sinusoidal con frecuencia negativa, ya que una onda sinusoidal contiene frecuencias tanto positivas como negativas.

(Realmente me gustaría hacer mejores ilustraciones de esto, en lugar de copiar estos viejos de mala calidad, pero lo he intentado y no es fácil. Creo que el diagrama 3D del espectro anterior es realmente incorrecto Las funciones delta deben ser paralelas al plano real / imaginario, y perpendiculares al eje de la frecuencia.)