¿Por qué es estable un circuito pasivo lineal, es decir, por qué su respuesta al impulso se aproxima a cero con el tiempo?

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Esta es una pregunta tonta porque la respuesta puede ser obvia, pero todavía tengo mis dudas.

Si se le da un circuito compuesto solo de resistencias, inductores y condensadores, si su respuesta de impulso decae con el tiempo, debe haber exponentes negativos en esa respuesta. Pero eso significa que las raíces complejas del polinomio característico deben tener partes reales negativas (o cero). Supuse que esto se debía a que el polinomio característico tiene coeficientes positivos, pero más tarde descubrí que no todos los polinomios con coeficientes positivos no tienen partes reales positivas en sus raíces. Por ejemplo, eche un vistazo a \ $ s ^ 5 + s ^ 4 + s ^ 3 + s ^ 2 + s + 1 \ $.

Sé que podría haber alguna explicación física a esto, aunque estoy mirando desde un punto de vista matemático.

    
pregunta mjtsquared

4 respuestas

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En un circuito que se compone solo de Ls, Cs y Rs ...

Un impulso de entrada almacenará energía en Ls y Cs. La energía almacenada se disipará en las Rs y tenderá a cero con el tiempo.

A la inversa, si no hay R, no hay medios de disipación, la energía permanecerá almacenada y la respuesta al impulso durará indefinidamente.

    
respondido por el Neil_UK
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Sospecho que el problema puede surgir del requisito de un dominio imposible para valores de componentes pasivos. Su ecuación característica se descompone (como estoy seguro de que ya sabe) en: \ $ \ left (s + 1 \ right) \ left (s ^ 2 + s + 1 \ right) \ left (s ^ 2-s + 1 \ derecha) \ $. Los dos primeros factores ciertamente pueden formarse con componentes pasivos. Pero el último término parece requerir un componente de valor negativo.

¿Puede encontrar cualquier arreglo de circuito pasivo en el que la ecuación característica sea \ $ s ^ 2-s + 1 \ $?

    
respondido por el jonk
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La respuesta simple está relacionada con el criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz . Esto significa que simplemente no importa cómo terminen los términos del polinomio mientras todos las raíces tengan una parte real negativa. Solo al satisfacer este criterio, la respuesta al impulso decaerá con el tiempo.

    
respondido por el a concerned citizen
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"Supuse que esto se debía a que el polinomio característico tiene coeficientes positivos, pero luego descubrí que no todos los polinomios con coeficientes positivos no tienen partes reales positivas en sus raíces".

En una nota al margen, creo que esto se refiere a Regla de signos de Descartes .

  1. Cuando un polinomio está ordenado por exponente descendente, entonces el número de raíces positivas es igual al número de diferencias de signo entre los coeficientes consecutivos distintos de cero, o es menor que este por un par número.

  2. El número de raíces negativas se puede encontrar cambiando el eje real. Esto se hace invirtiendo el signo de todos los términos impares.

El problema aquí es que las raíces tienen que ser reales . Entonces esto significa que la regla en realidad es:

Todos los coeficientes tienen el mismo signo \ $ \ Leftrightarrow \ $ Todas las raíces reales (si las hay) son negativas

El ejemplo dado tiene raíces complejas, por lo que la regla no se aplica a ellos. Sin embargo, las raíces reales en el ejemplo son negativas (\ $ s = -1 \ $).

    
respondido por el Sven B

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