trazando la respuesta de frecuencia

  

¿Por qué es que cuando representamos H (w), debemos pensar que es un exponencial complejo?

No necesitamos pensarlo de esa manera, pero en este caso es conveniente hacerlo.

Sabemos que hay una propiedad de las transformadas de Fourier donde si

\ $ x (t) \ iff X (j \ omega) \ $,

entonces

\ $ x (t-t_0) \ iff X (j \ omega) e ^ {j \ omega {} t_0} \ $

Entonces, en este caso, escribir la respuesta de frecuencia de esta forma deja claro que el efecto del dominio del tiempo es un cambio de retardo.

  

Pero qué sucede si H (w) no tiene la forma \ $ e ^ {- j \ omega {} t_0} \ $, pero tiene la forma de \ $ j \ omega \ $. ¿Cómo podemos ahora trazarlo? (No tiene una exponencial compleja, por lo que no hay forma de considerar la magnitud y la fase).

No hay razón para que deba tener un componente exponencial. Cualquier número complejo tiene una magnitud y una fase.

Por ejemplo, 3 + 3 j tiene una magnitud \ $ 3 \ sqrt {2} \ $, y una fase \ $ \ pi / 4 \ $. Y \ $ j \ omega \ $ tiene magnitud \ $ \ omega \ $ y fase \ $ \ pi / 2 \ $.

En general, si tiene un número complejo a + jb , su magnitud es \ $ \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} \ $ y su fase es \ $ \ mathrm {atan} (b / a) \ $.

Si tiene una función de respuesta compleja que depende de la frecuencia, siempre puede trazar su magnitud y fase en función de la frecuencia.

Si ya conoce la magnitud y la fase de un número complejo, es conveniente escribir ese número en la forma \ $ Ae ^ {j \ phi} \ $, pero esa no es la única forma de escribirlo. También puede escribir \ $ A \ cos (\ phi) + jA \ sin (\ phi) \ $.

Probablemente será útil tener en cuenta, al pensar en esto, fórmula de Euler :

\ $ e ^ {j \ phi} = \ cos \ phi + j \ sin \ phi \ $

También, tenga en cuenta que \ $ j \ omega \ $ tiene una magnitud y fase y puede, de hecho, escribirse en forma exponencial compleja:

\ $ \ omega e ^ {j \ pi / 2} = \ omega (\ cos \ pi / 2 + j \ sin \ pi / 2) = \ omega (0 + j) = j \ omega \ $

La magnitud es \ $ \ omega \ $ y la fase es una constante \ $ \ pi / 2 \ $

Respuesta corta: \ $ H (\ omega) \ $ es generalmente una función compleja de la variable de frecuencia \ $ \ omega \ $. Tenga en cuenta que

$$ H (\ omega) = | H (\ omega) | e ^ {j \ phi (\ omega)} $$

donde \ $ \ phi (\ omega) \ $ es la fase de \ $ H (\ omega) \ $. Por lo general, se grafica la magnitud \ $ | H (\ omega) | \ $ y en ocasiones también la fase \ $ \ phi (\ omega) \ $. Tenga en cuenta que tanto la magnitud como la fase son, por supuesto, funciones reales de la variable de frecuencia \ $ \ omega \ $.

Para \ $ H (j \ omega) = e ^ {- j \ omega t_0} \ $, tenemos \ $ | H (\ omega) | = 1 \ $ y \ $ \ phi (\ omega) = - \ omega t_0 \ $. En este caso, la fase es obviamente lineal en \ $ \ omega \ $.