Después de ver una pregunta en una de las publicaciones, tengo esta confusión en mi mente. Aquí no me interesa mucho la explicación matemática, pero me gustaría para saber cómo una transformación realmente convierte una señal de dominio de tiempo en dominio de frecuencia. Y qué significa en realidad la representación en el dominio de la frecuencia. Desde que la señal dice que una unidad tiene 0 frecuencia. ¿Es solo un gráfico de la magnitud de la señal con el parámetro de frecuencia o hay más?
Sólo puedo explicar por qué funcionan matemáticamente, b / c la forma en que las funciones de dominio de tiempo se convierten en funciones de dominio s está basada matemáticamente.
Las transformadas de Fourier y Laplace se basan en un concepto matemático conocido como núcleo integral. Un kernel integral se define como el término \ $ f (x, t) \ $ en una integral de la forma: $$ F (x) = \ int_ {t_0} ^ {t_1} f (x, t) g (t) dt $$
\ $ f (x, t) \ $ define una familia de funciones parametrizadas por x, como \ $ e ^ {- jxt} \ $, por ejemplo. Hay un número infinito de funciones que toman esta forma una para cada (¡inconblemente!) Número infinito de valores de \ $ x \ $ desde, por ejemplo, \ $ - \ infty \ $ a \ $ \ infty \ $.
Supongamos que se nos da un valor de \ $ x \ $, llámelo \ $ x_0 \ $ y una función \ $ g (t) \ $ que queremos analizar. Asumamos que el dominio es \ $ \ pm \ infty \ $. La integral anterior se puede escribir como: $$ A = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x_0, t) g (t) dt $$
La integral anterior se conoce como un producto interno, análogo al concepto de vectores en álgebra lineal. Informalmente, un producto interno produce un número \ $ A \ $ que mide "qué tan similar en forma es \ $ f (t) \ $ a \ $ g (t) \ $?".
Resulta sumando cada función única de la familia \ $ f (x, t) \ $, cada una con un multiplicador constante \ $ A \ $ obtenido al evaluar el producto interno con \ $ g (t) \ $ en cada \ $ x \ $, se puede obtener el \ $ g (t) \ $ original como resultado.
Ahora, para responder a su pregunta, la Transformada de Fourier descompone una función \ $ g (t) \ $ en un conjunto de exponenciales complejos \ $ f (x, t) \ $ de la forma \ $ e ^ {- jxt} PS Estos están muy estrechamente relacionados con los sinusoides de una velocidad angular \ $ x_0 \ $ tomando la magnitud del número complejo resultante.
Las transformadas de Laplace son similares, pero de la forma \ $ e ^ {- xt} \ $, donde \ $ x \ $ es un número complejo, y \ $ t \ $ está limitado de 0 a \ $ \ infty \ $ (\ $ x \ $ se llama normalmente \ $ s \ $ en esta transformación. Estoy usando \ $ x \ $ por coherencia). No tienen una interpretación tan intuitiva que yo sepa. Wikipedia dice que la Transformada de Laplace descompone las funciones en momentos. Al analizar los valores de la transformada de Laplace para los valores de \ $ x \ $ de la forma \ $ jx_0 \ $, volverá a la interpretación sinusoidal como se indicó anteriormente.
Como también señala Lorenzo, hay propiedades convenientes de transformaciones integrales que aparecen en el dominio de la frecuencia, como la convolución de dos funciones \ $ f (x_0, t) \ $ y \ $ g (t) \ $ se convierten en un multiplicación en el dominio s.
Bueno, por lo que dice, no está claro a qué se refiere con "cómo funciona la transformación", ya que no quiere una explicación matemática. Cómo funcionan las transformaciones es algo matemático.
De todos modos, supongo que está interesado en la razón detrás de su aplicación en los campos de la ingeniería de circuitos y similares.
A este respecto, puede ver las transformaciones como una manera de representar un circuito o una señal de una manera diferente, pero una forma que preserva (aparte de los casos patológicos) la "información" del circuito / señal original.
Por ejemplo, cuando aplica la transformada de Laplace a un circuito para realizar un análisis transitorio en el dominio s, está explotando las propiedades matemáticas de la transformada L para simplificar su trabajo. Y cuando lo usa para calcular la función de transferencia de un sistema lineal invariante en el tiempo, está utilizando las propiedades matemáticas de la transformada L para representar ese sistema de una manera diferente y equivalente. Esta representación equivalente puede ser ventajosa, por ejemplo, si está interesado en la estabilidad del sistema, ya que esta propiedad está relacionada con la posición de los polos de su función de transferencia.
Para resumir, se trata de elegir la representación correcta que lo ayude a analizar o diseñar un circuito / sistema / señal de la manera más fácil posible. Como analogía, piense en un ingeniero civil que diseña un edificio. Puede elegir diferentes representaciones para el edificio de acuerdo con lo que diseñará: debe usar dibujos técnicos para representar las medidas exactas de muros y otras estructuras, pero puede recurrir al modelado 3D (ya sea modelos a escala real o simulaciones CAD). ) para ver el impacto del edificio en el entorno circundante.
Una transformada de Fourier es esencialmente el límite de tiempo infinito (\ $ T \ a \ infty \ $) de la serie de Fourier. Esto significa que la aplicación de la transformación transformará una señal dependiente del tiempo en su espectro de frecuencias. Debido a que \ $ T \ to \ infty \ $, la diferencia entre las frecuencias armónicas se acerca a cero, y el espectro se vuelve continuo. Al agregar de nuevo matemáticamente todas las frecuencias en el espectro, también se obtiene la transformación inversa.
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